Exercice 7

Réduire chacune des expressions suivantes :

1. \(x^{3} \cdot 4x^{2} y\)
2. \(4a^{2} \cdot (-3ab^{2})\)
3. \(2x^{2} \cdot 3y \cdot 5x\)
4. \((-2a^{2}) \cdot 3ab \cdot (-b)\)
5. \(4x^{4} \cdot 3x^{3} \cdot 2x^{2} \cdot (-x)\)
6. \(3a^{2}b \cdot 2a^{3}b\)

Réponse

Résumé des résultats

1. \(4x^{5}y\)
2. \(-12a^{3}b^{2}\)
3. \(30x^{3}y\)
4. \(6a^{3}b^{2}\)
5. \(-24x^{10}\)
6. \(6a^{5}b^{2}\)

Chaque expression a été simplifiée en multipliant les coefficients et en additionnant les exposants des mêmes variables.

Corrigé détaillé

Corrections détaillées

Voici les réductions des expressions demandées, expliquées étape par étape.

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1. Réduire \(x^{3} \cdot 4x^{2} y\)

Étape 1 : Identifier les facteurs numériques et les variables.

• Facteur numérique : \(4\)
• Variables : \(x^{3}\), \(x^{2}\), et \(y\)

Étape 2 : Multiplier les coefficients (nombres) ensemble.

• \(4\) reste tel quel car c’est le seul coefficient.

Étape 3 : Multiplier les puissances de \(x\).

• \(x^{3} \cdot x^{2} = x^{3+2} = x^{5}\)

Étape 4 : Multiplier par \(y\).

• \(x^{5} \cdot y = 4x^{5}y\)

Résultat final :

\[ 4x^{5}y \]

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2. Réduire \(4a^{2} \cdot (-3ab^{2})\)

Étape 1 : Identifier les facteurs numériques et les variables.

• Facteurs numériques : \(4\) et \(-3\)
• Variables : \(a^{2}\), \(a\), et \(b^{2}\)

Étape 2 : Multiplier les coefficients.

• \(4 \cdot (-3) = -12\)

Étape 3 : Multiplier les puissances de \(a\).

• \(a^{2} \cdot a = a^{2+1} = a^{3}\)

Étape 4 : Multiplier par \(b^{2}\).

• \(a^{3} \cdot b^{2} = a^{3}b^{2}\)

Résultat final :

\[ -12a^{3}b^{2} \]

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3. Réduire \(2x^{2} \cdot 3y \cdot 5x\)

Étape 1 : Identifier les facteurs numériques et les variables.

• Facteurs numériques : \(2\), \(3\), et \(5\)
• Variables : \(x^{2}\), \(y\), et \(x\)

Étape 2 : Multiplier les coefficients.

• \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\)

Étape 3 : Multiplier les puissances de \(x\).

• \(x^{2} \cdot x = x^{2+1} = x^{3}\)

Étape 4 : Multiplier par \(y\).

• \(x^{3} \cdot y = x^{3}y\)

Résultat final :

\[ 30x^{3}y \]

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4. Réduire \((-2a^{2}) \cdot 3ab \cdot (-b)\)

Étape 1 : Identifier les facteurs numériques et les variables.

• Facteurs numériques : \(-2\), \(3\), et \(-1\) (car \(-b = -1 \cdot b\))
• Variables : \(a^{2}\), \(a\), et \(b\)

Étape 2 : Multiplier les coefficients.

• \(-2 \cdot 3 \cdot (-1) = 6\)

Étape 3 : Multiplier les puissances de \(a\).

• \(a^{2} \cdot a = a^{2+1} = a^{3}\)

Étape 4 : Multiplier les puissances de \(b\).

• \(b \cdot b = b^{1+1} = b^{2}\)

Résultat final :

\[ 6a^{3}b^{2} \]

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5. Réduire \(4x^{4} \cdot 3x^{3} \cdot 2x^{2} \cdot (-x)\)

Étape 1 : Identifier les facteurs numériques et les variables.

• Facteurs numériques : \(4\), \(3\), \(2\), et \(-1\) (car \(-x = -1 \cdot x\))
• Variables : \(x^{4}\), \(x^{3}\), \(x^{2}\), et \(x\)

Étape 2 : Multiplier les coefficients.

• \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (-1) = -24\)

Étape 3 : Multiplier les puissances de \(x\).

• \(x^{4} \cdot x^{3} \cdot x^{2} \cdot x = x^{4+3+2+1} = x^{10}\)

Résultat final :

\[ -24x^{10} \]

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6. Réduire \(3a^{2}b \cdot 2a^{3}b\)

Étape 1 : Identifier les facteurs numériques et les variables.

• Facteurs numériques : \(3\) et \(2\)
• Variables : \(a^{2}\), \(b\), \(a^{3}\), et \(b\)

Étape 2 : Multiplier les coefficients.

• \(3 \cdot 2 = 6\)

Étape 3 : Multiplier les puissances de \(a\).

• \(a^{2} \cdot a^{3} = a^{2+3} = a^{5}\)

Étape 4 : Multiplier les puissances de \(b\).

• \(b \cdot b = b^{1+1} = b^{2}\)

Résultat final :

\[ 6a^{5}b^{2} \]

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Résumé des résultats

1. \(4x^{5}y\)
2. \(-12a^{3}b^{2}\)
3. \(30x^{3}y\)
4. \(6a^{3}b^{2}\)
5. \(-24x^{10}\)
6. \(6a^{5}b^{2}\)

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Chaque réduction a été effectuée en multipliant les coefficients et en ajoutant les exposants des mêmes variables, conformément aux règles de multiplication des puissances.