Exercice 6

Exprimer à l’aide d’un monôme :

1. L’aire d’un rectangle de dimensions \(x\) et \(y\).
2. L’aire d’un carré de côté \(a\).
3. L’aire d’un triangle de base \(b\) et de hauteur \(h\).
4. Le volume d’un cube d’arête \(a\).
5. Le volume d’un parallélépipède rectangle de dimensions \(x\), \(y\) et \(z\).
6. L’aire totale des faces d’un cube d’arête \(z\).

Réponse

1. Aire du rectangle : \(A = xy\)

2. Aire du carré : \(A = a^2\)

3. Aire du triangle : \(A = \frac{1}{2}bh\)

4. Volume du cube : \(V = a^3\)

5. Volume du parallélépipède : \(V = xyz\)

6. Aire totale du cube : \(A_{\text{totale}} = 6z^2\)

Corrigé détaillé

Corrections des exercices

1. Aire d’un rectangle de dimensions \(x\) et \(y\)

Pour calculer l’aire d’un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur.

• Longueur : \(x\)
• Largeur : \(y\)

Ainsi, l’aire \(A\) est donnée par :

\[ A = x \times y = xy \]

L’expression \(xy\) est un monôme, car c’est le produit de deux variables.

2. Aire d’un carré de côté \(a\)

Un carré a tous ses côtés de même longueur. Pour calculer l’aire d’un carré, on élève la longueur d’un côté au carré.

• Côté : \(a\)

Ainsi, l’aire \(A\) est :

\[ A = a \times a = a^2 \]

L’expression \(a^2\) est un monôme, car c’est une variable élevée à une puissance entière.

3. Aire d’un triangle de base \(b\) et de hauteur \(h\)

Pour trouver l’aire d’un triangle, on multiplie sa base par sa hauteur et on divise par deux.

• Base : \(b\)
• Hauteur : \(h\)

Ainsi, l’aire \(A\) est :

\[ A = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2}bh \]

L’expression \(\frac{1}{2}bh\) est un monôme, car c’est le produit de constantes et de variables.

4. Volume d’un cube d’arête \(a\)

Le volume d’un cube se calcule en élevant la longueur de son arête au cube.

• Arête : \(a\)

Ainsi, le volume \(V\) est :

\[ V = a \times a \times a = a^3 \]

L’expression \(a^3\) est un monôme.

5. Volume d’un parallélépipède rectangle de dimensions \(x\), \(y\) et \(z\)

Le volume d’un parallélépipède rectangle se calcule en multipliant ses trois dimensions.

• Longueur : \(x\)
• Largeur : \(y\)
• Hauteur : \(z\)

Ainsi, le volume \(V\) est :

\[ V = x \times y \times z = xyz \]

L’expression \(xyz\) est un monôme.

6. Aire totale des faces d’un cube d’arête \(z\)

Un cube a 6 faces identiques. L’aire totale est donc 6 fois l’aire d’une face.

• Arête : \(z\)

Aire d’une face :

\[ A_{\text{face}} = z \times z = z^2 \]

Aire totale \(A_{\text{totale}}\) :

\[ A_{\text{totale}} = 6 \times z^2 = 6z^2 \]

L’expression \(6z^2\) est un monôme.