Exercice 5

En utilisant la notation « puissance », écrivez aussi simplement que possible chacune des expressions suivantes :

1. \(\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{8}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}\)
2. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3} : \left(\frac{2}{3}\right)^{6}\)
3. \(\frac{\left((-3)^{2}\right)^{3}}{(-3)^{3} \cdot (-3)}\)
4. \(\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{2} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{4}}{\left(\left(\frac{4}{5}\right)^{2}\right)^{4}}\)
5. \(\frac{2^{3} \cdot 3^{4}}{2^{5} \cdot 3^{2}}\)
6. \(\left(\left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{3}\right)^{2} : \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)\right)^{3}\)

Réponse

Réponses : 1) (3/4)⁶
2) (3/2)³
3) 9
4) (5/4)²
5) 9⁄4
6) (3/2)⁴ × (5/7)³

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression en utilisant la notation « puissance » :

────────────────────────────── 1) Expression : ( (3/4)⁸ )⁄( (3/4)² )

• Rappel de la propriété : Pour une même base a, aᵐ⁄aⁿ = a^(m–n).
• On applique cette propriété avec a = 3/4, m = 8 et n = 2.
• Calcul : (3/4)^(8–2) = (3/4)⁶

Réponse : (3/4)⁶

────────────────────────────── 2) Expression : (2/3)³ ÷ (2/3)⁶

• La division de puissances de même base se fait en soustrayant les exposants : aᵐ ÷ aⁿ = a^(m–n).
• Ici : (2/3)^(3–6)= (2/3)^(–3)
• Pour écrire cette expression sans exposant négatif, on utilise la règle a^(–n) = 1⁄(aⁿ).
• Ainsi, (2/3)^(–3)= 1⁄[(2/3)³] = (3/2)³

Réponse : (3/2)³

────────────────────────────── 3) Expression : ((–3)²)³⁄[ (–3)³ × (–3) ]

• Dans le numérateur, on a ((–3)²)³. Par la propriété de la puissance d’une puissance, ((aᵇ)ᶜ = a^(b×c)), on obtient :
  ((–3)²)³ = (–3)^(2×3) = (–3)⁶
• Dans le dénominateur, on écrit le produit de puissances de même base sous forme d’une seule puissance :
  (–3)³ × (–3) = (–3)^(3+1) = (–3)⁴
• Alors, la division donne : (–3)^(6–4) = (–3)²
• On calcule (–3)² = (–3)×(–3) = 9

Réponse : 9

────────────────────────────── 4) Expression : [ (4/5)² × (4/5)⁴ ]⁄[ ((4/5)²)⁴ ]

• Dans le numérateur, multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :
  (4/5)² × (4/5)⁴ = (4/5)^(2+4) = (4/5)⁶
• Dans le dénominateur, on a une puissance d’une puissance qui se simplifie en multipliant les exposants :
  ((4/5)²)⁴ = (4/5)^(2×4) = (4/5)⁸
• La division donne alors : (4/5)^(6–8) = (4/5)^(–2)
• Pour éliminer l’exposant négatif, on inverse la fraction :
  (4/5)^(–2) = (5/4)²

Réponse : (5/4)²

────────────────────────────── 5) Expression : (2³ × 3⁴)⁄(2⁵ × 3²)

• On sépare les bases 2 et 3 en appliquant la propriété de la division des puissances :
  Pour la base 2 : 2³⁄2⁵ = 2^(3–5) = 2^(–2)
  Pour la base 3 : 3⁴⁄3² = 3^(4–2) = 3²
• Ainsi, l’expression devient : 2^(–2) × 3²
• Pour écrire sans exposant négatif, rappelons que 2^(–2) = 1⁄(2²) = 1⁄4.
• On obtient alors : (1⁄4) × 9 = 9⁄4

Réponse : 9⁄4

────────────────────────────── 6) Expression : { [(2/3) × (5/7)³]² } ÷ { [(2/3)² × (5/7)]³ }

• Commençons par simplifier chacune des parties :  ◦ Dans la parenthèse du numérateur : (2/3) × (5/7)³
  – Élever au carré toute la parenthèse :
   [(2/3) × (5/7)³]² = (2/3)² × [(5/7)³]²
     = (2/3)² × (5/7)^(3×2) = (2/3)² × (5/7)⁶
• Pour le dénominateur, on a : (2/3)² × (5/7)
  – Élever cette expression au cube donne :
   [(2/3)² × (5/7)]³ = (2/3)^(2×3) × (5/7)³ = (2/3)⁶ × (5/7)³
• On effectue ensuite la division entre le numérateur et le dénominateur :
  [ (2/3)² × (5/7)⁶ ]⁄[ (2/3)⁶ × (5/7)³ ]
• En séparant les puissances de même base, on soustrait les exposants :   – Pour (2/3) : (2/3)^(2–6) = (2/3)^(–4)  
  – Pour (5/7) : (5/7)^(6–3) = (5/7)³
• Pour éliminer l’exposant négatif sur (2/3), on inverse la fraction :   (2/3)^(–4) = (3/2)⁴
• Ainsi, on obtient finalement : (3/2)⁴ × (5/7)³

Réponse : (3/2)⁴ × (5/7)³

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. (3/4)⁶
   
2. (3/2)³
   
3. 9
   
4. (5/4)²
   
5. 9⁄4
   
6. (3/2)⁴ × (5/7)³