Simplifiez \(\frac{2^{5}}{2^{3}}\)
Simplifiez \(\frac{7^{4}}{7^{6}}\)
Simplifiez \(\left(\frac{3}{5}\right)^{2} : \left(\frac{3}{5}\right)^{5}\)
Simplifiez \(\frac{2^{5} \cdot 2^{3}}{2^{2}}\)
Simplifiez \(\left(\frac{2}{9}\right)^{7} : \left(\frac{2}{9}\right)^{3}\)
Simplifiez \(\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{5}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\)
Résumé des réponses simplifiées :
\(4\)
\(\frac{1}{49}\)
\(\frac{125}{27}\)
\(64\)
\(\frac{16}{6561}\)
\(1\)
Pour simplifier l’expression \(\frac{2^{5}}{2^{3}}\), nous utilisons la règle des puissances de même base lors de la division :
\[ \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \]
Appliquons cette règle avec \(a = 2\), \(m = 5\) et \(n = 3\) :
\[ \frac{2^{5}}{2^{3}} = 2^{5 - 3} = 2^{2} \]
Ensuite, calculons \(2^{2}\) :
\[ 2^{2} = 2 \times 2 = 4 \]
Réponse simplifiée : \(4\)
Pour simplifier \(\frac{7^{4}}{7^{6}}\), nous utilisons la même règle des puissances de même base :
\[ \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \]
Ici, \(a = 7\), \(m = 4\) et \(n = 6\) :
\[ \frac{7^{4}}{7^{6}} = 7^{4 - 6} = 7^{-2} \]
Un exposant négatif indique que nous prenons l’inverse de la base élevée à l’exposant positif correspondant :
\[ 7^{-2} = \frac{1}{7^{2}} = \frac{1}{49} \]
Réponse simplifiée : \(\frac{1}{49}\)
L’opération “\(:\)” correspond à une division. Nous pouvons réécrire l’expression comme suit :
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{2} \div \left(\frac{3}{5}\right)^{5} = \frac{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}{\left(\frac{3}{5}\right)^{5}} \]
Utilisons la règle des puissances de même base lors de la division :
\[ \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \]
Ici, \(a = \frac{3}{5}\), \(m = 2\) et \(n = 5\) :
\[ \frac{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}{\left(\frac{3}{5}\right)^{5}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{2 - 5} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-3} \]
Un exposant négatif signifie que nous prenons l’inverse de la base élevée à l’exposant positif :
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{3}\right)^{3} = \frac{5^{3}}{3^{3}} = \frac{125}{27} \]
Réponse simplifiée : \(\frac{125}{27}\)
Commençons par simplifier le numérateur en utilisant la règle des puissances de même base lors de la multiplication :
\[ a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \]
Ici, \(a = 2\), \(m = 5\) et \(n = 3\) :
\[ 2^{5} \cdot 2^{3} = 2^{5 + 3} = 2^{8} \]
Ensuite, nous avons l’expression complète :
\[ \frac{2^{8}}{2^{2}} \]
Utilisons la règle de la division des puissances de même base :
\[ \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \]
Avec \(a = 2\), \(m = 8\) et \(n = 2\) :
\[ \frac{2^{8}}{2^{2}} = 2^{8 - 2} = 2^{6} \]
Calculons \(2^{6}\) :
\[ 2^{6} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \]
Réponse simplifiée : \(64\)
L’opération “\(:\)” représente une division. Réécrivons l’expression :
\[ \left(\frac{2}{9}\right)^{7} \div \left(\frac{2}{9}\right)^{3} = \frac{\left(\frac{2}{9}\right)^{7}}{\left(\frac{2}{9}\right)^{3}} \]
Appliquons la règle des puissances de même base lors de la division :
\[ \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \]
Ici, \(a = \frac{2}{9}\), \(m = 7\) et \(n = 3\) :
\[ \frac{\left(\frac{2}{9}\right)^{7}}{\left(\frac{2}{9}\right)^{3}} = \left(\frac{2}{9}\right)^{7 - 3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{4} \]
Calculons \(\left(\frac{2}{9}\right)^{4}\) :
\[ \left(\frac{2}{9}\right)^{4} = \frac{2^{4}}{9^{4}} = \frac{16}{6561} \]
Réponse simplifiée : \(\frac{16}{6561}\)
Commençons par simplifier le dénominateur en utilisant la règle des puissances de même base lors de la multiplication :
\[ a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \]
Ici, \(a = \frac{1}{2}\), \(m = 3\) et \(n = 2\) :
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3 + 2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{5} \]
L’expression complète devient :
\[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{5}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{5}} \]
Appliquons la règle de la division des puissances de même base :
\[ \frac{a^{m}}{a^{m}} = a^{m - m} = a^{0} \]
Toute base différente de zéro élevée à la puissance zéro est égale à 1 :
\[ a^{0} = 1 \]
Donc,
\[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{5}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{5}} = 1 \]
Réponse simplifiée : \(1\)