Exercice 3

Calculer, et répondre par une fraction irréductible ou un nombre entier :

1. \(\left(-\frac{5}{7}\right)^{3}\)
   
2. \(\left(-\frac{24}{36}\right)^{4}\)
   
3. \(\left(-\frac{121}{49}\right)^{0}\)
   
4. \(0^{23}\)
   
5. \((0,75)^{2}\)
   
6. \(\left(-\frac{1}{10}\right)^{4}\)

Dans les exercices 26 à 29, utiliser la notation « puissance » pour écrire aussi simplement que possible chacune des expressions :

Réponse

Réponses :

1. \(-\dfrac{125}{343}\)
2. \(\dfrac{16}{81}\)
3. \(1\)
4. \(0\)
5. \(\dfrac{9}{16}\) ou \(0,5625\)
6. \(\dfrac{1}{10000}\)

Corrigé détaillé

Exercices 1 à 6 : Calculs et corrections détaillées

1) Calculer \(\left(-\frac{5}{7}\right)^{3}\)

Correction :

Pour calculer \(\left(-\frac{5}{7}\right)^{3}\), nous devons élever la fraction \(-\frac{5}{7}\) à la puissance 3. Voici les étapes détaillées :

1. Comprendre la notation :

   • Le symbole \(\left(-\frac{5}{7}\right)^{3}\) signifie que nous multiplions \(-\frac{5}{7}\) par lui-même 3 fois.

2. Effectuer la multiplication :

   \[ \left(-\frac{5}{7}\right)^{3} = \left(-\frac{5}{7}\right) \times \left(-\frac{5}{7}\right) \times \left(-\frac{5}{7}\right) \]

3. Multiplier les premières deux fractions :

   \[ \left(-\frac{5}{7}\right) \times \left(-\frac{5}{7}\right) = \frac{25}{49} \]

   • Produit des numérateurs : \((-5) \times (-5) = 25\)
   • Produit des dénominateurs : \(7 \times 7 = 49\)

4. Multiplier le résultat par la troisième fraction :

   \[ \frac{25}{49} \times \left(-\frac{5}{7}\right) = \frac{25 \times (-5)}{49 \times 7} = \frac{-125}{343} \]

5. Résultat final :

   \[ \left(-\frac{5}{7}\right)^{3} = -\frac{125}{343} \]

Réponse : \(-\dfrac{125}{343}\)

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2) Calculer \(\left(-\frac{24}{36}\right)^{4}\)

Correction :

Pour calculer \(\left(-\frac{24}{36}\right)^{4}\), nous allons suivre ces étapes :

1. Simplifier la fraction :

   \[ -\frac{24}{36} = -\frac{2}{3} \quad \text{(en divisant numérateur et dénominateur par 12)} \]

2. Élever la fraction simplifiée à la puissance 4 :

   \[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{4} \]

   • Une puissance paire d’un nombre négatif donne un résultat positif.

3. Effectuer le calcul :

   \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{4} = \frac{2^{4}}{3^{4}} = \frac{16}{81} \]

4. Résultat final :

   \[ \left(-\frac{24}{36}\right)^{4} = \frac{16}{81} \]

Réponse : \(\dfrac{16}{81}\)

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3) Calculer \(\left(-\frac{121}{49}\right)^{0}\)

Correction :

Pour tout nombre différent de zéro, élever ce nombre à la puissance 0 donne 1.

1. Appliquer la règle des puissances :

   \[ \left(-\frac{121}{49}\right)^{0} = 1 \]

2. Remarque : Cette règle s’applique tant que la base n’est pas égale à zéro.

Réponse : \(1\)

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4) Calculer \(0^{23}\)

Correction :

Élever le nombre 0 à n’importe quelle puissance positive donne toujours 0.

1. Appliquer la règle des puissances :

   \[ 0^{23} = 0 \]

2. Remarque : Cette règle est valable pour toute puissance positive.

Réponse : \(0\)

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5) Calculer \((0,75)^{2}\)

Correction :

Pour calculer \((0,75)^{2}\), nous devons élever 0,75 au carré.

1. Comprendre la notation :

   • \((0,75)^{2}\) signifie \(0,75 \times 0,75\).

2. Effectuer la multiplication :

   \[ 0,75 \times 0,75 = 0,5625 \]

3. Conversion en fraction (si nécessaire) :

   \[ 0,5625 = \frac{5625}{10000} = \frac{9}{16} \quad \text{(en simplifiant la fraction)} \]

4. Résultat final :

   \[ (0,75)^{2} = \frac{9}{16} \quad \text{ou} \quad 0,5625 \]

Réponse : \(\dfrac{9}{16}\) ou \(0,5625\)

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6) Calculer \(\left(-\frac{1}{10}\right)^{4}\)

Correction :

Pour calculer \(\left(-\frac{1}{10}\right)^{4}\), suivez ces étapes :

1. Comprendre la notation :

   • \(\left(-\frac{1}{10}\right)^{4}\) signifie multiplier \(-\frac{1}{10}\) par lui-même 4 fois.

2. Appliquer la règle des puissances :

   • Une puissance paire d’un nombre négatif donne un résultat positif.

3. Effectuer le calcul :

   \[ \left(-\frac{1}{10}\right)^{4} = \left(\frac{1}{10}\right)^{4} = \frac{1^{4}}{10^{4}} = \frac{1}{10000} \]

4. Résultat final :

   \[ \left(-\frac{1}{10}\right)^{4} = \frac{1}{10000} \]

Réponse : \(\dfrac{1}{10000}\)

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