Simplifiez les expressions suivantes :
\(\left(-\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\)
\(\left((0,5)^{3} \cdot (0,5)^{4}\right)^{2}\)
\(\left(+\frac{3}{4}\right)^{3} \cdot \left(+\frac{4}{3}\right)^{4} \cdot \left(+\frac{3}{4}\right)\)
\(\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4}\)
\(\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \cdot \left(3^{2}\right)^{3}\right)^{2}\)
Réponses simplifiées :
Exercice 1 : \(\frac{64}{729}\)
Exercice 2 : \(\frac{1}{16\,384}\)
Exercice 3 : \(1\)
Exercice 4a : \(\frac{5\,488^{4}}{75^{4}}\)
Exercice 4b : \(\frac{16}{9}\)
Exercice 5 : \(\frac{9\,765\,625}{60\,466\,176}\)
Exercice 6 : \(\frac{531\,441}{1\,024}\)
Simplifiez l’expression suivante :
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \]
Correction :
Pour simplifier cette expression, nous allons utiliser les propriétés des puissances.
Addition des exposants :
Lorsque nous multiplions des puissances ayant la même base, nous additionnons les exposants.
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{1} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{2 + 3 + 1} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{6} \]
Calcul de la puissance :
Maintenant, calculons \(\left(-\frac{2}{3}\right)^{6}\).
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{6} = \left(\frac{2}{3}\right)^{6} = \frac{2^{6}}{3^{6}} = \frac{64}{729} \]
Remarque : Lorsque l’exposant est pair, le résultat est positif, même si la base est négative.
Réponse simplifiée :
\[ \frac{64}{729} \]
Simplifiez l’expression suivante :
\[ \left((0,5)^{3} \cdot (0,5)^{4}\right)^{2} \]
Correction :
Multiplication des puissances avec la même base :
\[ (0,5)^{3} \cdot (0,5)^{4} = (0,5)^{3 + 4} = (0,5)^{7} \]
Élévation à la puissance 2 :
\[ \left((0,5)^{7}\right)^{2} = (0,5)^{7 \cdot 2} = (0,5)^{14} \]
Calcul de la puissance :
\[ (0,5)^{14} = \left(\frac{1}{2}\right)^{14} = \frac{1}{2^{14}} = \frac{1}{16\,384} \]
Réponse simplifiée :
\[ \frac{1}{16\,384} \]
Simplifiez l’expression suivante :
\[ \left(+\frac{3}{4}\right)^{3} \cdot \left(+\frac{4}{3}\right)^{4} \cdot \left(+\frac{3}{4}\right) \]
Correction :
Regroupement des puissances semblables :
Observons que \(\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\) et \(\left(\frac{3}{4}\right)^{1}\) ont la même base.
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{1} = \left(\frac{3}{4}\right)^{3 + 1} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{4} = \left(\frac{3}{4}\right)^{4} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{4} \]
Multiplication des puissances :
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^{4} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{4} = \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}\right)^{4} = (1)^{4} = 1 \]
Réponse simplifiée :
\[ 1 \]
a. Simplifiez l’expression suivante :
\[ \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{2} \cdot 7^{3} \cdot \frac{1}{3}\right)^{4} \]
Correction :
Calcul des puissances individuelles :
\[ \left(\frac{4}{5}\right)^{2} = \frac{16}{25}, \quad 7^{3} = 343 \]
Multiplication des termes à l’intérieur des parenthèses :
\[ \frac{16}{25} \cdot 343 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16 \times 343}{25 \times 3} = \frac{5\,488}{75} \]
Élévation à la puissance 4 :
\[ \left(\frac{5\,488}{75}\right)^{4} = \frac{5\,488^{4}}{75^{4}} \]
Remarque : Le calcul exact de \(5\,488^{4}\) et \(75^{4}\) donne des nombres très grands. On peut laisser l’expression sous cette forme simplifiée.
Réponse simplifiée :
\[ \frac{5\,488^{4}}{75^{4}} \]
b. Simplifiez l’expression suivante :
\[ \left(+\frac{4}{3}\right)^{2} \]
Correction :
Calcul de la puissance :
\[ \left(\frac{4}{3}\right)^{2} = \frac{4^{2}}{3^{2}} = \frac{16}{9} \]
Réponse simplifiée :
\[ \frac{16}{9} \]
Simplifiez l’expression suivante :
\[ \left(\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \]
Correction :
Élévation d’une puissance à une autre puissance :
\[ \left(\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\right)^{3} = \left(\frac{5}{6}\right)^{2 \times 3} = \left(\frac{5}{6}\right)^{6} \]
Multiplication des puissances avec la même base :
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \left(\frac{5}{6}\right)^{6 + 4} = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \]
Calcul de la puissance :
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^{10} = \frac{5^{10}}{6^{10}} = \frac{9\,765\,625}{60\,466\,176} \]
Réponse simplifiée :
\[ \frac{9\,765\,625}{60\,466\,176} \]
Simplifiez l’expression suivante :
\[ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \cdot \left(3^{2}\right)^{3}\right)^{2} \]
Correction :
Calcul des puissances individuelles à l’intérieur des parenthèses :
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32}, \quad \left(3^{2}\right)^{3} = 3^{2 \times 3} = 3^{6} = 729 \]
Multiplication des termes à l’intérieur des parenthèses :
\[ \frac{1}{32} \cdot 729 = \frac{729}{32} \]
Élévation à la puissance 2 :
\[ \left(\frac{729}{32}\right)^{2} = \frac{729^{2}}{32^{2}} = \frac{531\,441}{1\,024} \]
Réponse simplifiée :
\[ \frac{531\,441}{1\,024} \]