Question: En février de cette année, vous possédez un seul couple de poules. Combien de couples aurez-vous à la fin de l’année si chaque couple :
En décembre, vous aurez 1024 couples de poules.
Nous allons raisonner mois par mois, en partant du principe que le couple initial de poules, obtenu en février, n’est pas productif pendant ce même mois. Dès le mois suivant, chaque couple, dès lors qu’il atteint sa deuxième période (quand il a vécu un mois complet), devient productif et produit à la fin du mois un nouveau couple. Voici le détail :
Mois de février (point de départ) : – Vous disposez d’un seul couple. Comme c’est leur mois de naissance, ils ne produisent pas encore. Nombre de couples à la fin de février : 1.
Mois de mars : – Le couple de février devient dans son deuxième mois et devient productif. – Il produit 1 nouveau couple durant le mois. Nombre total de couples à la fin de mars = couple existant + nouveau couple = 1 + 1 = 2.
Mois d’avril : – Au début d’avril, les 2 couples ont respectivement : • Le couple initial (de février) qui est maintenant dans son 3ᵉ mois, • Le couple né en mars qui est désormais dans son 2ᵉ mois. – Les deux sont productifs pendant le mois d’avril. Chacun produit 1 nouveau couple. Nouveaux couples produits = 2. Nombre total à la fin d’avril = couples précédents + nouveaux = 2 + 2 = 4.
Mois de mai : – Au début de mai, les couples ont les âges suivants : • Le couple de février : 4 mois, • Le couple de mars : 3 mois, • Les 2 couples d’avril : maintenant 1 mois (et entrent dans leur deuxième mois, donc deviennent productifs). – Ainsi, les 4 couples sont productifs en mai et chacun produit 1 couple. Nouveaux couples produits = 4. Nombre total à la fin de mai = 4 + 4 = 8.
On constate que, dès mars, le nombre de couples double à chaque mois. Pour vérifier, on peut résumer :
Février : 1 couple
Mars : 2 couples
Avril : 4 couples
Mai : 8 couples
Juin : 16 couples
Juillet : 32 couples
Août : 64 couples
Septembre : 128 couples
Octobre : 256 couples
Novembre : 512 couples
Décembre : 1024 couples
Pour expliquer en détail :
– Le couple initial n’est productif qu’à partir de mars.
– Ensuite, chaque mois, tous les couples existants (ayant atteint leur
deuxième mois) produisent chacun 1 nouveau couple.
– Ainsi, si à la fin d’un mois on compte N couples, le mois suivant,
chacun de ces N couples produira un nouveau couple, ce qui donne N
nouveaux couples, et le total deviendra N + N = 2N.
Entre février et décembre, il y a 10 mois de production (mars à décembre). En partant de 1 couple et en doublant 10 fois, nous obtenons :
Nombre de couples en décembre = 1 × 2^(10) = 1024.
Conclusion : À la fin de l’année (en décembre), vous aurez 1024 couples de poules.