Exercices corrigés - Puissances et problèmes - 11e

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Exercice 1

Difficulté : 20/100

Question: En février de cette année, vous possédez un seul couple de poules. Combien de couples aurez-vous à la fin de l’année si chaque couple :

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Exercice 2

Difficulté : 45/100

Simplifiez les expressions suivantes :

  1. \(\left(-\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\)

  2. \(\left((0,5)^{3} \cdot (0,5)^{4}\right)^{2}\)

  3. \(\left(+\frac{3}{4}\right)^{3} \cdot \left(+\frac{4}{3}\right)^{4} \cdot \left(+\frac{3}{4}\right)\)

    1. \(\left(\left(\frac{4}{5}\right)^{2} \cdot 7^{3} \cdot \frac{1}{3}\right)^{4}\)
    2. \(\left(+\frac{4}{3}\right)^{2}\)

  5. \(\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4}\)

  6. \(\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \cdot \left(3^{2}\right)^{3}\right)^{2}\)

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Exercice 3

Difficulté : 25/100

Calculer, et répondre par une fraction irréductible ou un nombre entier :

  1. \(\left(-\frac{5}{7}\right)^{3}\)
  2. \(\left(-\frac{24}{36}\right)^{4}\)
  3. \(\left(-\frac{121}{49}\right)^{0}\)
  4. \(0^{23}\)
  5. \((0,75)^{2}\)
  6. \(\left(-\frac{1}{10}\right)^{4}\)

Dans les exercices 26 à 29, utiliser la notation « puissance » pour écrire aussi simplement que possible chacune des expressions :

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Exercice 4

Difficulté : 25/100

  1. Simplifiez \(\frac{2^{5}}{2^{3}}\)

  2. Simplifiez \(\frac{7^{4}}{7^{6}}\)

  3. Simplifiez \(\left(\frac{3}{5}\right)^{2} : \left(\frac{3}{5}\right)^{5}\)

  4. Simplifiez \(\frac{2^{5} \cdot 2^{3}}{2^{2}}\)

  5. Simplifiez \(\left(\frac{2}{9}\right)^{7} : \left(\frac{2}{9}\right)^{3}\)

  6. Simplifiez \(\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{5}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\)

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Exercice 5

Difficulté : 40/100

En utilisant la notation « puissance », écrivez aussi simplement que possible chacune des expressions suivantes :

  1. \(\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{8}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}\)
  2. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3} : \left(\frac{2}{3}\right)^{6}\)
  3. \(\frac{\left((-3)^{2}\right)^{3}}{(-3)^{3} \cdot (-3)}\)
  4. \(\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{2} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{4}}{\left(\left(\frac{4}{5}\right)^{2}\right)^{4}}\)
  5. \(\frac{2^{3} \cdot 3^{4}}{2^{5} \cdot 3^{2}}\)
  6. \(\left(\left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{3}\right)^{2} : \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)\right)^{3}\)

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Exercice 6

Difficulté : 20/100

Exprimer à l’aide d’un monôme :

  1. L’aire d’un rectangle de dimensions \(x\) et \(y\).
  2. L’aire d’un carré de côté \(a\).
  3. L’aire d’un triangle de base \(b\) et de hauteur \(h\).
  4. Le volume d’un cube d’arête \(a\).
  5. Le volume d’un parallélépipède rectangle de dimensions \(x\), \(y\) et \(z\).
  6. L’aire totale des faces d’un cube d’arête \(z\).

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Exercice 7

Difficulté : 20/100

Réduire chacune des expressions suivantes :

  1. \(x^{3} \cdot 4x^{2} y\)
  2. \(4a^{2} \cdot (-3ab^{2})\)
  3. \(2x^{2} \cdot 3y \cdot 5x\)
  4. \((-2a^{2}) \cdot 3ab \cdot (-b)\)
  5. \(4x^{4} \cdot 3x^{3} \cdot 2x^{2} \cdot (-x)\)
  6. \(3a^{2}b \cdot 2a^{3}b\)

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Exercice 8

Difficulté : 30/100

Effectuez les calculs suivants et réduisez le résultat :

  1. \(\left(2a^{2}b^{3}\right)^{2}\)
  2. \(\left(-4xy^{2}\right)^{3}\)
  3. \(\left(-2a^{4}b^{2}c\right)^{4}\)
  4. \(\left(-125xy^{2}z^{3}\right)^{0}\)
  5. \(\left(3a^{3}b\right)^{3}\)
  6. \(\left(-2xy^{2}\right)^{5}\)

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Exercice 9

Difficulté : 20/100

Question : Vérifie l’exactitude de ces formules pour \(n=2\), \(n=5\) et \(n=7\).

  1. \[ T_{1} = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1) \]

  2. \[ T_{2} = 3 + 6 + 9 + \dots + 3n = \frac{3n(n+1)}{2} \]

  3. \[ T_{3} = 1 + 4 + 9 + \dots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

  4. \[ T_{4} = 1 + 8 + 27 + \dots + n^{3} = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2} \]

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Exercice 10

Difficulté : 30/100

Un nénuphar dont la surface double chaque jour met 10 jours pour couvrir un étang. Combien de jours seraient nécessaires à deux nénuphars de cette espèce pour couvrir le même étang ?

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Exercice 11

Difficulté : 40/100

À quel taux faut-il placer un capital pour qu’il double en 20 ans ?

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Exercice 12

Difficulté : 25/100

Expliquez pourquoi les inéquations suivantes sont vraies pour tout nombre \(x\) :

  1. \(x^{2} \geq 0\)
  2. \(x + 3 \geq x + 2\)
  3. \(-x^{2} \leq 0\)
  4. \(x^{2} + 3x^{4} \geq 0\)

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Exercice 13

Difficulté : 45/100

  1. Simplifiez l’expression suivante : \((-5)^{3} \cdot (-5) \cdot (-5)^{4}\)

  2. Simplifiez l’expression suivante : \((+3)^{4} \cdot (-2) \cdot (+3)^{2} \cdot (-2)^{3}\)

  3. Simplifiez l’expression suivante : \(7^{2} \cdot \left(7^{3}\right)^{4}\)

  4. Simplifiez l’expression suivante : \(\left(7^{2} \cdot 7^{3}\right)^{4}\)

  5. Simplifiez l’expression suivante : \(\left((-4)^{2} \cdot (+5) \cdot (-2)^{4}\right)^{3}\)

  6. Simplifiez l’expression suivante : \(\left(\left(5^{2}\right)^{3} \cdot 3^{4}\right)^{2}\)

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Exercice 14

Difficulté : 20/100

  1. Simplifiez l’expression suivante :

    \[(+3)^{2} \cdot (+3) \cdot (+3)^{3} \cdot (+3)^{4}\]

  2. Simplifiez l’expression suivante :

    \[\left(5^{3} \cdot \left(2^{3}\right)^{4} \cdot 7\right)^{2}\]

  3. Simplifiez l’expression suivante :

    \[(-7)^{3} \cdot (+5)^{2} \cdot (+5) \cdot (-7)^{4}\]

  4. Simplifiez l’expression suivante :

    \[3^{5} \cdot \left(3^{2} \cdot 3^{4}\right)\]

  5. Simplifiez l’expression suivante :

    \[(+5)^{3}\]

  6. Simplifiez l’expression suivante :

    \[\left(4^{2}\right)^{3} \cdot \left(4^{3}\right)^{5} \cdot 4\]

  7. Simplifiez l’expression suivante :

    \[3^{5} \cdot \left(3^{2} + 3^{4}\right)\]

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Exercice 15

Difficulté : 20/100

Écrire les nombres suivants en écriture décimale:

  1. \(10^{3}\)
  2. \(10^{-2}\)
  3. \(10^{-4}\)
  4. \(10^{0}\)
  5. \(10^{-1}\)
  6. \(10^{2}\)

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Exercice 16

Difficulté : 50/100

Effectuez les calculs suivants et réduisez les résultats :

  1. \(\left(-2\,x^{2}\right) \cdot (7\,x)\)

  2. \(\left(-\dfrac{2}{3}\,x^{2}\,y^{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{12}\,y^{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{6}{21}\,x^{-5}\right)\)

  3. \(\dfrac{5}{4}\,x \cdot \left(-\dfrac{2}{15}\,x\right)\)

  4. \(\dfrac{8}{9}\,x\,y\,z \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\,x\,y\right)\)

  5. \(\left(-\dfrac{1}{2}\,a^{3}\,b\right) \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\,a\,b^{3}\,c\right) \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\,a^{7}\right)\)

  6. \((-3\,a\,b\,c) \cdot \left(+\dfrac{1}{27}\,a^{4}\,b\right) \cdot 9\,a^{4}\,b^{12}\)

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Exercice 17

Difficulté : 25/100

Effectuer les calculs suivants ; réduire le résultat :

  1. \(\left(5 x y^{2}\right)^{2}\)
  2. \(\left(-6 a^{4} b\right)^{2}\)
  3. \(\left(-3 x^{3} y z\right)^{3}\)
  4. \(\left(4 a^{3} b\right)^{4}\)
  5. \(\left(-x^{2} y^{4}\right)^{0}\)
  6. \(\left(-x^{8}\right)^{8}\)

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Exercice 18

Difficulté : 40/100

Effectuer les calculs suivants : réduire le résultat :

  1. \((0,3 x y)^{2}\)
  2. \(\left(-2 a^{2} b\right)^{4}\)
  3. \(\left(\left(-2 x^{2} y\right)^{3}\right)^{2}\)
  4. \(\left(\frac{1}{2} a b^{2}\right)^{3}\)
  5. \(\left(-3 x^{2} y^{3}\right)^{3}\)
  6. \(-\frac{1}{2} \cdot\left(a^{4} b^{2}\right)^{2}\)

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Exercice 19

Difficulté : 40/100

Effectuer les calculs suivants ; réduire le résultat :

  1. \((0,2\,x)^{3}\)
  2. \(\left(-\frac{1}{2} a^{2}\right)^{2}\)
  3. \(0,4 \cdot \left(a^{3} b\right)^{2}\)
  4. \(\left(-0,1\,x^{3} y\right)^{4}\)
  5. \(\left(\left(-a^{7} b\right)^{2}\right)^{3}\)
  6. \(\left(2 a b^{5}\right)^{3}\)

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Exercice 20

Difficulté : 60/100

Question : Pour obtenir un nombre spécial :

Par exemple :

\[1 + \mathbf{3} = \mathbf{4}\] n’est pas premier, on continue.

\[1 + 3 + \mathbf{9} = \mathbf{13}\] est premier et \[13 \times 9 = 117\] est spécial.

\[1 + 3 + 9 + 27 + \mathbf{81} = \mathbf{121}\] n’est pas premier, on continue.

  1. Détermine le prochain nombre obtenu de cette façon.

  2. Prouve que ce nombre est bien spécial.

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Exercice 21

Difficulté : 20/100

Question : Effectue les calculs suivants et donne les résultats sous la forme d’une puissance de 10.

  1. \(10^{3} \cdot 10^{4} =\)

  2. \(10^{5} \cdot 10^{2} =\)

  3. \(\frac{10^{9}}{10^{3}} =\)

  4. \(\frac{10^{6}}{10^{5}} =\)

  5. \(\left(10^{2}\right)^{4} =\)

  6. \(\left(10^{3}\right)^{3} =\)

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Exercice 22

Difficulté : 10/100

Question :

  1. Donne l’écriture décimale de \(10^{-2}\).

  2. Écris sous la forme d’une puissance : \(\frac{5^{4}}{5^{2}}\).

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Exercice 23

Difficulté : 30/100

Question : Exprime chaque expression sous forme de fraction.

  1. \(4^{-2} = \qquad\)

  2. \((-3)^{-4} = \frac{\ldots}{\ldots}\)

  3. \(5^{-1} = \frac{\ldots}{\ldots}\)

  4. \(9^{-3} = \frac{\ldots}{\ldots}\)

  5. \(6^{-2} = \qquad\)

  6. \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1} = \frac{\ldots}{\ldots}\)

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Exercice 24

Difficulté : 30/100

Question : Complétez le tableau suivant en remplissant les cases manquantes.

Puissance Définition Écriture fractionnaire Écriture décimale
\(10^{-3}\) \(\frac{1}{10^{3}}\) \(\frac{1}{\ldots \ldots \ldots}\)
\(10^{-1}\) 0,1
\(\frac{1}{10^{4}}\) 0,0001
\(\frac{1}{10000}\)

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Exercice 25

Difficulté : 20/100

Question : Écris chaque nombre sous la forme d’une puissance d’un nombre.

  1. \(\frac{1}{7^{-10}}=\)
  2. \(\frac{1}{2^{-5}}=\)
  3. \(\frac{1}{4^{-2}}=\)
  4. \(\frac{1}{(-5)^{4}}=\)
  5. \(\frac{1}{3^{-3}}=\)
  6. \(\frac{-1}{-6^{-2}}=\)
  7. \(\frac{9^{-6}}{2^{-6}}=\)
  8. \(\frac{-3^{-4}}{-2^{-4}}=\)

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Exercice 26

Difficulté : 30/100

Question : Complète les égalités suivantes.

  1. \(2^{5} \times 2 = 2^{\underline{\hspace{1cm}}}\)

  2. \(4^{\underline{\hspace{1cm}}} \times 4^{3} = 4^{6}\)

  3. \(6^{-3} = 6^{\underline{\hspace{1cm}}}\)

  4. \(\frac{3}{3^{7}} = 3^{\underline{\hspace{1cm}}}\)

  5. \(5^{-4} \times 5^{\underline{\hspace{1cm}}} = 5^{2}\)

  6. \(2^{9} = 2^{\underline{\hspace{1cm}}}\)

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Exercice 27

Difficulté : 40/100

Exercice : Choisissez la bonne réponse pour chaque affirmation.

  1. a. Le nombre décimal 0,372 s’écrit aussi :
    • \(3,72 \times 10^{1} \quad / \quad 0,0372 \times 10^{2}\)
    • \(3,72 \times 10^{-1} \quad / \quad 3,72 \times 10^{2}\)
  2. b. Calculer : \(5^{10} \times \dfrac{5^{-5}}{5^{3}} =\)
    • \(5^{12} \quad / \quad 5^{2} \quad / \quad 5^{-3} \quad / \quad 5^{3}\)
  3. c. L’écriture scientifique de \(\dfrac{32 \times 10^{-4} \times 4 \times 10^{3}}{2 \times 10^{2} \times 8 \times 10^{-1}}\) est :
    • \(8,0 \cdot 10^{-1} \quad / \quad 8,0 \cdot 10^{0} \quad / \quad 8,0 \cdot 10^{1} \quad / \quad 8,0 \cdot 10^{2}\)
  4. d. Calculer : \(3^{2} \times 3^{-4} \times 3^{6} \times 3^{-8} =\)
    • \(3^{-4} \quad / \quad 3^{0} \quad / \quad 3^{-2} \quad / \quad 3^{2}\)

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Exercice 28

Difficulté : 20/100

Exercice : Écris chaque produit sous la forme d’une puissance d’un nombre.

  1. \(3^{5} \cdot 3^{-2} =\)

  2. \((-2)^{3} \cdot (-2)^{4} =\)

  3. \(4^{2} \cdot 4^{3} =\)

  4. \((-5)^{-3} \cdot (-5)^{2} =\)

  5. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{4} \times 3^{-1} =\)

  6. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \times 2^{-4} =\)

  7. \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \times \left(\frac{5}{3}\right)^{3} =\)

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Exercice 29

Difficulté : 40/100

Question: Écris chaque quotient sous la forme d’une puissance d’un nombre.

  1. \(\dfrac{4^{-3}}{4^{1}} =\)

  2. \(\dfrac{2^{5}}{2^{-2}} =\)

  3. \(\dfrac{(-3)^{-1}}{(-3)^{-4}} =\)

  4. \(\dfrac{6^{-4}}{6^{-1}} =\)

  5. \(\dfrac{2^{-3}}{2^{4}} =\)

  6. \(\dfrac{(-7)^{2}}{(-7)^{-3}} =\)

  7. \(\dfrac{x}{x^{-2}} =\)

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Exercice 30

Difficulté : 20/100

Question : Réécris chaque expression sous la forme d’une seule puissance.

  1. \(4^{3} \cdot 2^{-3}\)

  2. \((-3)^{4} \cdot (-6)^{-4}\)

  3. \(7^{2} \cdot (-14)^{-2}\)

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Exercice 31

Difficulté : 42/100

Question : Calcule les expressions suivantes.

  1. \(4^{2} + 6 \cdot 2^{-1} =\)

  2. \(3^{-2} + 8 + 5^{-1} =\)

  3. \(7^{3} \cdot 3^{-3} + 6^{2} - 9^{-1} =\)

  4. \(2^{4} + 2^{-4} =\)

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Exercice 32

Difficulté : 50/100

Question : Les virus de la grippe sont des agents pathogènes courants affectant les voies respiratoires.

  1. La taille d’un virus de la grippe est de \(0{,}1\,\mu\mathrm{m}\). Exprimez cette taille en mètres et donnez le résultat en notation scientifique.

  2. À une température de \(25^{\circ}\mathrm{C}\), la population de virus de la grippe double toutes les 30 minutes.

Une population initiale de 500 virus de la grippe est placée dans ces conditions. Quel est le nombre de virus de la grippe au bout de trois heures ? Au bout de six heures ?

Écrivez ces résultats en notation scientifique.

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Exercice 33

Difficulté : 40/100

Douze camions transportent des palettes.

Chaque camion porte 8 palettes, et chaque palette contient 8 grandes boîtes.

Chaque grande boîte renferme 8 cartons.

Chaque carton contient 64 bouteilles de parfum destinées aux boutiques.

Combien de bouteilles de parfum sont transportées au total ?

Exprime le résultat sous forme de puissance de 2, puis en notation décimale.

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Exercice 34

Difficulté : 20/100

Question : Prolongez cette suite numérique et déterminez la fonction permettant de calculer rapidement la valeur du \(150^{\text{e}}\) terme.

\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ 162,\ 486,\ \ldots \]

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Exercice 35

Difficulté : 50/100

Question :

  1. Les six premiers nombres carrés sont :

\[ 1, \, 4, \, 9, \, 16, \, 25, \, 36 \]

Que peut-on dire de la somme de deux nombres carrés consécutifs ?

  1. Quelle relation existe-t-il entre les nombres carrés et les nombres cubiques ?

27 est le troisième nombre cubique.

Comment justifier ce résultat à l’aide d’assemblages de points ?

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Exercice 36

Difficulté : 30/100

Exercice :

À chaque rebond, une balle atteint les \(\frac{2}{3}\) de la hauteur du rebond précédent.

Quelle fraction de la hauteur initiale atteint-elle au quatrième rebond ?

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Exercice 37

Difficulté : 35/100

  1. Ces égalités sont-elles correctes ?

  1. \(4^{5} \times 4^{2} \stackrel{?}{=} 4^{3} \times 4^{4}\)

  2. \(5^{3} \times 5^{3} \stackrel{?}{=} 5^{4} \times 5^{2}\)

  3. \(2^{4} \times 2^{5} \stackrel{?}{=} \left(2^{3}\right)^{3}\)

  1. Calcule mentalement.

  1. \(2^{3} \times 4^{4} \times 2 \times 3^{4}\)

  2. \(5^{2} + 4^{3}\)

  3. \(\frac{4^{6} \times 3^{6}}{12^{4} \times 3^{2}}\)

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Exercice 38

Difficulté : 40/100

Question : La somme des inverses des puissances de 3 est la suivante :

\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + \frac{1}{729} + \ldots \]

  1. Quelle est la valeur du sixième terme ?

  2. Quelle est la somme des six premiers termes ?

  3. Quelle serait la somme si la série était poursuivie ?

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Exercice 39

Difficulté : 30/100

Question : Choisis quelques questions et, à l’aide de ta calculatrice, trouve rapidement :

  1. Le carré de \(58\).

  2. L’opposé de l’inverse de \(32\).

  3. Le cube de \(27\).

  4. La puissance quatrième de \(12\).

  5. La racine carrée de \(841\).

  6. La racine cinquième de \(243\).

  7. L’opposé de \(1500\).

  8. L’inverse de \(28\).

  9. L’inverse du carré de \(25\).

  10. Le carré de l’inverse de \(25\).

  11. L’inverse de l’opposé de \(32\).

  12. La racine carrée du carré de \(8{,}75\).

  13. Le carré de la racine carrée de \(8{,}75\).

  14. L’écriture décimale de trois quarts.

  15. L’écriture fractionnaire de \(0{,}036\).

  16. L’écriture en notation scientifique de \(45040000000000\).

  17. L’écriture en notation scientifique de \(0{,}00000785\).

  18. Le carré de l’inverse de \(\frac{5}{8}\).

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Exercice 40

Difficulté : 40/100

Question : Calcule ou complète.

  1. \(3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} =\)

  2. \(\sqrt{\quad} = 16\)

  3. \(15 = 3\)

  4. \((-5)^{2} =\)

  5. \(\sqrt{-9} =\)

  6. \((\quad)^{3} = \dfrac{27}{64}\)

  7. \(\sqrt[3]{\quad} = 5\)

  8. \(5 \cdot 10^{6} = 10^{\quad}\)

  9. \(100 = 0,001\)

  10. \(\left(\sqrt[3]{125}\right)^{3} =\)

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Exercice 41

Difficulté : 25/100

Question : Donne, si possible, le résultat sous la forme \(a^{n}\).

  1. Calcule la somme suivante : \(7 + 7 + 7 + 7 =\)

  2. Effectue la division : \(\dfrac{8^{5}}{8^{2}} =\)

  3. Calcule : \(9^{3} + 9^{3} =\)

  4. Simplifie le produit : \(3^{4} \times 4^{4} =\)

  5. Calcule la puissance : \((5^{3})^{3} =\)

  6. Simplifie le produit : \(6^{10} \times 6^{5} =\)

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Exercice 42

Difficulté : 60/100

Complète avec le signe \(= \text{ ou } \neq\). Justifie ta réponse.

  1. \(0,\overline{6}\)  \(4 - \frac{1}{6}\)

  2. \(\frac{14}{14}\)  \(1\)

  3. \(\frac{2}{7}\)  \(0,\overline{2}\)

  4. \(0,\overline{8}\)  \(1\)

1. Calcule.

  1. \(2^{5} - 2^{3} =\)

  2. \(\sqrt{144} =\)

  3. \((-5)^{2} =\)

  4. \(\sqrt{-16} =\)

  5. \(\left(\frac{4}{7}\right)^{2} =\)

  6. \(\sqrt[3]{-64} =\)

  7. \(10^{-3} =\)

  8. \(10^{5} \cdot 10^{-2} =\)

2. Écris, si possible, sous forme d’une puissance.

  1. \(4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 =\)

  2. \(6^{5} \cdot 6^{3} =\)

  3. \((-2)^{3} + (-2)^{3} =\)

  4. \(2^{6} \cdot 3^{6} =\)

  5. \(15^{7} \div 15^{2} =\)

  6. \(\left(10^{3}\right)^{4} =\)

3. Écris en notation scientifique.

  1. \(76\,500\,000 =\)

  2. \(92 \cdot 10^{6} =\)

  3. \(-250\,000\,000 =\)

  4. \(0,000045 =\)

4. Une étudiante boit plus de 8 000 verres d’eau par an. Combien de verres d’eau boira-t-elle en 75 ans ? Donne la réponse en notation scientifique.

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Exercice 43

Difficulté : 60/100

Calculer astucieusement lorsque c’est possible

  1. \(\sqrt{25 + 16} =\)

  2. \(\sqrt{\dfrac{49}{25}} =\)

  3. \(\sqrt{25 \times 16} =\)

  4. \(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{192}} =\)

  5. \(\sqrt{2025} =\)

  6. \(\dfrac{4 \sqrt{18}}{\sqrt{2}} =\)

  7. \(\sqrt{0{,}64} =\)

  8. \(\sqrt[3]{64 \times 343} =\)

  9. \(\sqrt{45} + \sqrt{5} =\)

  10. \(\sqrt{30} \times \sqrt{75} =\)

  11. \(\sqrt{196 - 81} =\)

  12. \(\dfrac{\sqrt{50}}{10 \sqrt{2}} =\)

Calcul mentalement

    1. \(7^{2} + 3^{2} =\)

    2. \(\sqrt{3600} =\)

    3. \(\sqrt{81 + 19} =\)

    4. \(3 \times 6^{3} \times 3^{2} \times 2^{3} =\)

    5. \((\sqrt{14 \times 6})^{2} =\)

    6. \(\sqrt[3]{125 \times 512} =\)

    7. \(\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{162}} =\)

    8. \(\sqrt{4} \times \sqrt{64} =\)

  2. Donner le résultat en notation scientifique.

    1. \(0,000045 \times 8\,000\,000 =\)

    2. \(30 \times 10^{5} + 7 \times 10^{6} =\)

    3. \(\dfrac{54 \times 10^{7}}{10^{-4} \times 6} =\)

  3. Combien y a-t-il d’atomes d’argent dans un gramme d’argent pur sachant que la masse d’un atome est de \(1{,}7918 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}\) ?

Probabilités

  1. Quelle est la probabilité de :

    1. Obtenir un nombre impair en lançant un dé conventionnel à six faces ?

    2. Sélectionner une fille en tirant un nom dans une liste comprenant douze filles et huit garçons ?

    3. Tirer une boule bleue dans un sac contenant des boules bleues, vertes et jaunes ?

  2. Peut-on prédire avec certitude si, en lançant un dé, il va montrer un nombre supérieur à quatre ?

  3. Une école organise une kermesse avec différentes activités. Les propositions sont les suivantes :

    Jeux

    • Lancer d’anneaux
    • Course en sac

    Attractions

    • Grande roue
    • Maison hantée
    • Carrousel

    Snacks

    • Popcorn
    • Glace
    • Sucettes

    Sachant qu’un participant choisit une activité, une attraction et un snack, combien de combinaisons différentes est-il possible de composer à partir de ces propositions ?

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Exercice 44

Difficulté : 20/100

Aucune valeur de \(x\) ne satisfait les inéquations suivantes. Expliquez pourquoi.

  1. \(x^{4} < 0\)

  2. \(2x^{2} + x^{4} + x^{6} + 8 < 8\)

  3. \(-x^{2} + 2 > 2\)

  4. \(x^{2} + 2 < 2\)

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Exercice 45

Difficulté : 70/100

Question : À quelle puissance faut-il élever \(3^{3}\) pour obtenir \(9^{9}\) ? Explique ta réponse.

Réponse attendue :

Pour trouver la puissance \(x\) telle que \((3^{3})^{x} = 9^{9}\), procédons de la manière suivante :

  1. Exprimer 9 en base 3 : \(9 = 3^{2}\), donc \(9^{9} = (3^{2})^{9} = 3^{18}\).

  2. Appliquer la propriété des puissances : \((3^{3})^{x} = 3^{3x}\).

  3. Établir l’égalité des puissances de 3 : \(3^{3x} = 3^{18}\).

  4. Comparer les exposants : \(3x = 18\).

  5. Résoudre pour \(x\) : \(x = \frac{18}{3} = 6\).

Donc, il faut élever \(3^{3}\) à la puissance 6 pour obtenir \(9^{9}\).

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Exercice 46

Difficulté : 20/100

Question: Pour chaque calcul ci-dessous, donne le résultat sous la forme \(a^{n}\) si possible.

  1. \(6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 =\)

  2. \(12^{5} \div 12^{2} =\)

  3. \(11^{3} + 11^{3} =\)

  4. \(3^{4} \times 4^{4} =\)

  5. \(\left(5^{3}\right)^{2} =\)

  6. \(3^{10} \times 3^{5} =\)

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Exercice 47

Difficulté : 20/100

Calculer les expressions suivantes :

  1. \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}\)
  2. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}\)
  3. \((-1)^{24}\)
  4. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5}\)
  5. \((-30)^{4}\)
  6. \((0,2)^{3}\)

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Exercice 48

Difficulté : 20/100

Question : Écris chaque expression sous la forme d’une puissance d’un nombre.

  1. \(A = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\). \(2 =\)

  2. \(B = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\).

  3. \(C = 0,2\).

  4. \(D = 0,00001\).

  5. \(E = 1000000\).

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Exercice 49

Difficulté : 20/100

Calculer :

  1. \(\left(-\frac{5}{6}\right)^{0}\)
  2. \(\left(+\frac{3}{5}\right)^{3}\)
  3. \(0^{5}\)
  4. \((-0,12)^{2}\)
  5. \(\left(-\frac{13}{26}\right)^{6}\)
  6. \(400^{3}\)

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Exercice 50

Difficulté : 20/100

Question : Exprime chaque nombre sous forme de puissance de 2 ou de 5 avec un exposant négatif.

  1. \(0,\!125 =\)

  2. \(0,\!03125 =\)

  3. \(0,\!0016 =\)

  4. \(0,\!0078125 =\)

  5. \(0,\!00032 =\)

  6. \(0,\!015625 =\)

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Exercice 51

Difficulté : 35/100

  1. Calculez \(\sqrt[3]{6^{3}}\)

  2. Calculez \(\sqrt[4]{6^{8}}\)

  3. Calculez \(\sqrt[5]{3^{15}}\)

  4. Calculez \(\sqrt{5^{3}} \cdot \sqrt{5^{5}}\)

  5. Calculez \(\sqrt[3]{3^{4}} \cdot \sqrt[3]{3^{8}}\)

  6. Calculez \(\sqrt[10]{10} \cdot \sqrt[10]{10^{9}}\)

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Exercice 52

Difficulté : 20/100

Effectuez les calculs suivants et réduisez le résultat :

  1. \(\left(3 a^{2} b\right)^{2}\)
  2. \(\left(-7 x^{3} y\right)^{2}\)
  3. \(\left(-2 a^{2} b c\right)^{3}\)
  4. \(\left(-5 a b^{3}\right)^{0}\)
  5. \(\left(3 w^{2} z\right)^{4}\)
  6. \(\left(-2 x^{4}\right)^{6}\)

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Exercice 53

Difficulté : 40/100

Question : Indique si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifie ta réponse.

  1. Est-ce que l’inverse de \(5^{2}\) est \(-5^{2}\) ?

  2. Est-ce que \((-2)^{-4}\) est un nombre positif ?

  3. Est-ce que \(6^{-3}\) est un nombre négatif ?

  4. Est-ce que \(7^{-5}\) est le double de \(7^{-2}\) ?

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Exercice 54

Difficulté : 30/100

Écrire à l’aide des puissances de 10 puis effectuer le calcul :

  1. \(0{,}07 \cdot 600 \cdot 0{,}001\)

  2. \(40 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}1 \cdot 100\)

  3. \(500 \cdot 0{,}8 \cdot 20 \cdot 0{,}001\)

  4. \(0{,}3 \cdot 0{,}005 \cdot 900 \cdot 20\)

  5. \(400 \cdot 0{,}003 \cdot 0{,}25 \cdot 60\)

  6. \(2{,}5 \cdot 3000 \cdot 0{,}0001 \cdot 4\)

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Exercice 55

Difficulté : 35/100

Exercice de Mathématiques

  1. Calculez la somme suivante : \[3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} =\]

  2. Complétez l’expression suivante : \[\sqrt{\quad} = 16\]

  3. Complétez l’équation suivante pour que l’égalité soit vérifiée : \[15 = \quad\]

  4. Calculez : \[(-7)^{2} =\]

  5. Calculez : \[\sqrt{-49} =\]

  6. Complétez l’expression suivante : \[(\quad)^{3} = \frac{27}{64}\]

  7. Complétez l’expression suivante : \[\sqrt[3]{\quad} = 5\]

  8. Vérifiez si l’égalité est correcte : \[5 \cdot 10^{4} = 10^{5}\]

  9. Vérifiez si l’égalité est correcte : \[25 = 0,0025\]

  10. Calculez : \[(\sqrt[3]{125})^{3} =\]

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Exercice 56

Difficulté : 75/100

Question : Complète ces grilles numérotées, où chaque case contient exactement un chiffre.

a) Horizontalement

A. Puissance de 2
B. Nombre premier dont la somme des chiffres est 23
C. Multiple de 14 et multiple de 35
D. Carré parfait dont la racine carrée est comprise entre 15 et 25
E. Se divise par 53 et n’est pas un nombre premier

Verticalement

F. Suite de chiffres consécutifs croissants
G. PPCM (24, 576) et nombre pair
H. Nombre premier et multiple de 61
I. Plus grand multiple de 7 inférieur à 2500
J. La somme de ses chiffres est 21

b) Horizontalement

A. Puissance de 3 et multiple de 17
B. Puissance de 5 et dixième nombre premier
C. Puissance de 4
D. Nombre premier composé de chiffres consécutifs décroissants, PGCD (48, 84) et 29
E. Nombre premier et nombre palindrome
F. Multiple de 8 et premier nombre parfait
G. Nombre de diviseurs de 256 et puissance de 2

Verticalement

H. Le produit de ses chiffres est égal à 144
I. Multiple de 5 et nombre premier
J. Diviseur de 420 et nombre de poignées de mains échangées lorsque quinze personnes se retrouvent, chacune saluant toutes les autres
K. Nombre premier dont le chiffre des dizaines est égal à son chiffre des unités et inférieur à 7
L. Le carré du produit de ses chiffres est 8100 et nombre formé de chiffres pairs
M. Nombre premier, \(1723^{\circ}\) et un de moins qu’un nombre premier

F G H I J
A
B
C
D
E
H I J K L M
A
B
C
D
E
F
G

Nombre parfait : Un nombre qui est égal à la somme de ses diviseurs propres. Par exemple, 28 est un nombre parfait.

Palindrome : Se dit d’un groupe de mots, d’un vers ou d’une phrase qui garde le même sens lorsque l’on les lit de gauche à droite ou de droite à gauche.

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