Question : Du village de Montagne au sommet du Pic du Midi, un cycliste roule à une vitesse moyenne de \(12\,\mathrm{km/h}\).
Dans le sens inverse, il effectue le même trajet à une vitesse moyenne de \(36\,\mathrm{km/h}\).
Quelle est, en minutes, la durée des deux trajets ?
Quelle est la vitesse moyenne du cycliste, exprimée en kilomètres par heure, sur l’ensemble des deux parcours ?
La durée totale des deux trajets est \(\frac{D}{9}\) heures et la vitesse moyenne du cycliste est de \(18\,\mathrm{km/h}\).
Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer d’abord la durée des deux trajets effectués par le cycliste, puis calculer sa vitesse moyenne sur l’ensemble des deux parcours.
La durée d’un trajet se calcule en divisant la distance par la vitesse.
\[ t_1 = \frac{D}{v_1} = \frac{D}{12}\ \text{heures} \]
De même, la durée du trajet retour est :
\[ t_2 = \frac{D}{v_2} = \frac{D}{36}\ \text{heures} \]
La durée totale est la somme des durées aller et retour.
\[ T = t_1 + t_2 = \frac{D}{12} + \frac{D}{36} \]
Pour additionner ces fractions, il faut les mettre au même dénominateur.
\[ T = \frac{3D}{36} + \frac{D}{36} = \frac{4D}{36} = \frac{D}{9}\ \text{heures} \]
Pour convertir les heures en minutes, sachant qu’une heure contient 60 minutes :
\[ T = \frac{D}{9} \times 60 = \frac{60D}{9} = \frac{20D}{3}\ \text{minutes} \]
Ainsi, la durée totale des deux trajets est de \(\frac{20D}{3}\) minutes, soit environ \(6,67D\) minutes.
Remarque : Si la distance \(D\) était connue, on pourrait calculer une valeur numérique précise pour la durée totale.
La vitesse moyenne (\(v_{moy}\)) est définie comme le rapport entre la distance totale parcourue et le temps total mis pour parcourir cette distance.
Le cycliste effectue deux trajets de distance \(D\) chacun.
\[ \text{Distance totale} = D + D = 2D\ \text{kilomètres} \]
Nous avons déjà calculé le temps total \(T = \frac{D}{9}\) heures.
\[ v_{moy} = \frac{\text{Distance totale}}{\text{Temps total}} = \frac{2D}{\frac{D}{9}} = 2D \times \frac{9}{D} = 18\,\mathrm{km/h} \]
Ainsi, la vitesse moyenne du cycliste sur l’ensemble des deux parcours est de \(18\,\mathrm{km/h}\).