Question : Pour mesurer la hauteur d’un arbre, on utilise un bâton de 1,5 m en appliquant la méthode suivante. L’ombre du bâton, \(OM\), mesure \(0,90 \, \text{m}\). L’ombre de l’arbre, \(OH\), mesure \(15 \, \text{m}\).
Calcule la hauteur de l’arbre en arrondissant au dixième.
La hauteur de l’arbre est de 25,0 mètres en utilisant les triangles semblables.
Correction détaillée :
Pour déterminer la hauteur de l’arbre à l’aide de la méthode des ombres et d’un bâton de référence, nous allons utiliser les propriétés des triangles semblables. Voici les étapes à suivre :
Comprendre le principe des triangles semblables :
Lorsque le Soleil éclaire à la même heure, les ombres projetées par le bâton et l’arbre forment des triangles semblables. Cela signifie que les rapports des côtés correspondants de ces triangles sont égaux.
Lister les données fournies :
Établir le rapport entre les hauteurs et les ombres :
Puisque les triangles sont semblables, le rapport entre la hauteur du bâton et sa longueur d’ombre est égal au rapport entre la hauteur de l’arbre et sa longueur d’ombre.
\[ \frac{AB}{OM} = \frac{AH}{OH} \]
Substituer les valeurs connues dans l’équation :
\[ \frac{1{,}5}{0{,}90} = \frac{AH}{15} \]
Calculer le rapport \(\frac{1{,}5}{0{,}90}\) :
\[ \frac{1{,}5}{0{,}90} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \approx 1{,}6667 \]
Exprimer \(AH\) (hauteur de l’arbre) en fonction des autres variables :
\[ AH = \frac{1{,}5}{0{,}90} \times 15 \]
Effectuer le calcul :
\[ AH = 1{,}6667 \times 15 = 25 \, \text{m} \]
Arrondir au dixième si nécessaire :
Dans ce cas, la valeur obtenue est \(25 \, \text{m}\), ce qui est déjà exact. Cependant, pour respecter l’instruction d’arrondir au dixième :
\[ AH = 25{,}0 \, \text{m} \]
Conclusion :
La hauteur de l’arbre est de 25,0 mètres.