Exercice 162

Exercice :

Place les points \(A(2;\ 3)\) et \(B(5;\ 6)\) dans un repère orthonormé.

Détermine la pente du segment \(AB\) sur le graphique.
Place les points \(C(3;\ -2)\) et \(D(1;\ 1)\) dans le repère orthonormé.

Détermine la pente du segment \(CD\).
Quelle est la pente des segments \(AC\) et \(AD\) ?
Soient les points \(P(-3;\ 4)\) et \(Q(2;\ 4)\). Calcule la pente du segment \(PQ\) sans placer les points sur le graphique.
Soient les points \(R(0;\ -1)\) et \(S(0;\ 3)\). Calcule la pente du segment \(RS\).

Réponse

Résumé de la Correction :

Les points \(A(2, 3)\), \(B(5, 6)\), \(C(3, -2)\), \(D(1, 1)\), \(P(-3, 4)\), \(Q(2, 4)\), \(R(0, -1)\) et \(S(0, 3)\) ont été placés dans un repère orthonormé. Les pentes des segments calculées sont : - \(AB\) : 1 - \(CD\) : \(-\frac{3}{2}\) - \(AC\) : -5 - \(AD\) : 2 - \(PQ\) : 0 (horizontal) - \(RS\) : non définie (vertical)

Ces calculs illustrent les différentes inclinaisons des segments dans le plan.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

a) Placement des points \(A(2;\ 3)\) et \(B(5;\ 6)\) dans un repère orthonormé et détermination de la pente du segment \(AB\)

Étape 1 : Placement des points dans le repère orthonormé

Pour placer les points \(A\) et \(B\) dans un repère orthonormé, on utilise leurs coordonnées respectives \((x; y)\).

Point \(A(2;\ 3)\) :
- Abscisse (\(x\)) : 2 unités sur l’axe horizontal.
- Ordonnée (\(y\)) : 3 unités sur l’axe vertical.
- Le point \(A\) se situe donc à la position \((2, 3)\).
Point \(B(5;\ 6)\) :
- Abscisse (\(x\)) : 5 unités sur l’axe horizontal.
- Ordonnée (\(y\)) : 6 unités sur l’axe vertical.
- Le point \(B\) se situe donc à la position \((5, 6)\).

Repère orthonormé avec les points A et B

Étape 2 : Calcul de la pente du segment \(AB\)

La pente \(m\) d’un segment reliant deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) se calcule à l’aide de la formule suivante :

\[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \]

Appliquons cette formule aux points \(A(2;\ 3)\) et \(B(5;\ 6)\) :

\[ m = \frac{6 - 3}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1 \]

Conclusion

La pente du segment \(AB\) est égale à 1. Cela signifie que pour chaque unité que l’on se déplace horizontalement vers la droite, le segment monte d’une unité verticalement.

b) Placement des points \(C(3;\ -2)\) et \(D(1;\ 1)\) dans le repère orthonormé et détermination de la pente du segment \(CD\)

Étape 1 : Placement des points dans le repère orthonormé

Point \(C(3;\ -2)\) :
- Abscisse (\(x\)) : 3 unités sur l’axe horizontal.
- Ordonnée (\(y\)) : -2 unités sur l’axe vertical (en dessous de l’origine).
- Le point \(C\) se situe donc à la position \((3, -2)\).
Point \(D(1;\ 1)\) :
- Abscisse (\(x\)) : 1 unité sur l’axe horizontal.
- Ordonnée (\(y\)) : 1 unité sur l’axe vertical.
- Le point \(D\) se situe donc à la position \((1, 1)\).

Repère orthonormé avec les points C et D

Étape 2 : Calcul de la pente du segment \(CD\)

Utilisons la formule de la pente \(m\) :

\[ m = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{1 - (-2)}{1 - 3} = \frac{1 + 2}{-2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \]

Conclusion

La pente du segment \(CD\) est égale à \(-\dfrac{3}{2}\). Cela indique que le segment descend de 3 unités verticalement pour chaque 2 unités qu’il se déplace horizontalement vers la droite.

c) Détermination des pentes des segments \(AC\) et \(AD\)

Calcul de la pente du segment \(AC\)

Les coordonnées des points \(A(2;\ 3)\) et \(C(3;\ -2)\) sont utilisées.

\[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-2 - 3}{3 - 2} = \frac{-5}{1} = -5 \]

Calcul de la pente du segment \(AD\)

Les coordonnées des points \(A(2;\ 3)\) et \(D(1;\ 1)\) sont utilisées.

\[ m_{AD} = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{1 - 3}{1 - 2} = \frac{-2}{-1} = 2 \]

Conclusion

La pente du segment \(AC\) est égale à \(-5\).
La pente du segment \(AD\) est égale à \(2\).

d) Calcul de la pente du segment \(PQ\) avec les points \(P(-3;\ 4)\) et \(Q(2;\ 4)\)

Utilisation de la formule de la pente

Les coordonnées des points \(P(-3;\ 4)\) et \(Q(2;\ 4)\) sont utilisées.

\[ m_{PQ} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4 - 4}{2 - (-3)} = \frac{0}{5} = 0 \]

Interprétation de la pente

Une pente de 0 signifie que le segment \(PQ\) est horizontal. Cela indique qu’il n’y a aucun déplacement vertical entre les points \(P\) et \(Q\); ils sont alignés sur la même hauteur dans le repère orthonormé.

e) Calcul de la pente du segment \(RS\) avec les points \(R(0;\ -1)\) et \(S(0;\ 3)\)

Analyse des coordonnées

Les deux points possèdent la même abscisse (\(x = 0\)). Cela signifie que le segment \(RS\) est vertical.

Calcul de la pente

Essayons d’appliquer la formule de la pente :

\[ m_{RS} = \frac{y_S - y_R}{x_S - x_R} = \frac{3 - (-1)}{0 - 0} = \frac{4}{0} \]

Division par zéro est impossible. Donc, la pente du segment \(RS\) n’est pas définie.

Conclusion

La pente du segment \(RS\) n’est pas définie car le segment est vertical dans le repère orthonormé.

Remarques Finales

La pente d’un segment permet de caractériser son inclinaison dans le plan. Une pente positive indique une montée, une pente négative une descente, une pente nulle un segment horizontal, et une pente non définie un segment vertical.

Il est essentiel de bien comprendre la formule de la pente et son interprétation géométrique pour résoudre ce type d’exercices.