Exercice :
Place les points \(A(2;\ 3)\) et \(B(5;\ 6)\) dans un repère orthonormé.
Détermine la pente du segment \(AB\) sur le graphique.
Place les points \(C(3;\ -2)\) et \(D(1;\ 1)\) dans le repère orthonormé.
Détermine la pente du segment \(CD\).
Quelle est la pente des segments \(AC\) et \(AD\) ?
Soient les points \(P(-3;\ 4)\) et \(Q(2;\ 4)\). Calcule la pente du segment \(PQ\) sans placer les points sur le graphique.
Soient les points \(R(0;\ -1)\) et \(S(0;\ 3)\). Calcule la pente du segment \(RS\).
Résumé de la Correction :
Les points \(A(2, 3)\), \(B(5, 6)\), \(C(3, -2)\), \(D(1, 1)\), \(P(-3, 4)\), \(Q(2, 4)\), \(R(0, -1)\) et \(S(0, 3)\) ont été placés dans un repère orthonormé. Les pentes des segments calculées sont : - \(AB\) : 1 - \(CD\) : \(-\frac{3}{2}\) - \(AC\) : -5 - \(AD\) : 2 - \(PQ\) : 0 (horizontal) - \(RS\) : non définie (vertical)
Ces calculs illustrent les différentes inclinaisons des segments dans le plan.
Pour placer les points \(A\) et \(B\) dans un repère orthonormé, on utilise leurs coordonnées respectives \((x; y)\).
La pente \(m\) d’un segment reliant deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) se calcule à l’aide de la formule suivante :
\[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \]
Appliquons cette formule aux points \(A(2;\ 3)\) et \(B(5;\ 6)\) :
\[ m = \frac{6 - 3}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1 \]
La pente du segment \(AB\) est égale à 1. Cela signifie que pour chaque unité que l’on se déplace horizontalement vers la droite, le segment monte d’une unité verticalement.
Utilisons la formule de la pente \(m\) :
\[ m = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{1 - (-2)}{1 - 3} = \frac{1 + 2}{-2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \]
La pente du segment \(CD\) est égale à \(-\dfrac{3}{2}\). Cela indique que le segment descend de 3 unités verticalement pour chaque 2 unités qu’il se déplace horizontalement vers la droite.
Les coordonnées des points \(A(2;\ 3)\) et \(C(3;\ -2)\) sont utilisées.
\[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-2 - 3}{3 - 2} = \frac{-5}{1} = -5 \]
Les coordonnées des points \(A(2;\ 3)\) et \(D(1;\ 1)\) sont utilisées.
\[ m_{AD} = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{1 - 3}{1 - 2} = \frac{-2}{-1} = 2 \]
Les coordonnées des points \(P(-3;\ 4)\) et \(Q(2;\ 4)\) sont utilisées.
\[ m_{PQ} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4 - 4}{2 - (-3)} = \frac{0}{5} = 0 \]
Une pente de 0 signifie que le segment \(PQ\) est horizontal. Cela indique qu’il n’y a aucun déplacement vertical entre les points \(P\) et \(Q\); ils sont alignés sur la même hauteur dans le repère orthonormé.
Les deux points possèdent la même abscisse (\(x = 0\)). Cela signifie que le segment \(RS\) est vertical.
Essayons d’appliquer la formule de la pente :
\[ m_{RS} = \frac{y_S - y_R}{x_S - x_R} = \frac{3 - (-1)}{0 - 0} = \frac{4}{0} \]
Division par zéro est impossible. Donc, la pente du segment \(RS\) n’est pas définie.
La pente du segment \(RS\) n’est pas définie car le segment est vertical dans le repère orthonormé.
La pente d’un segment permet de caractériser son inclinaison dans le plan. Une pente positive indique une montée, une pente négative une descente, une pente nulle un segment horizontal, et une pente non définie un segment vertical.
Il est essentiel de bien comprendre la formule de la pente et son interprétation géométrique pour résoudre ce type d’exercices.