Exercice 158

36 000 fr sont placés à un certain taux. 24 000 fr sont placés à un taux supérieur de \(1,5\%\) au précédent. La somme des intérêts annuels est de 3 000 fr. À quels taux ces deux sommes ont-elles été placées ?

Réponse

Les taux d’intérêt sont de 4,4 % pour les 36 000 fr et de 5,9 % pour les 24 000 fr.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous devons déterminer les taux d’intérêt auxquels deux sommes d’argent sont placées, sachant que :

• 36 000 fr sont placés à un certain taux.
• 24 000 fr sont placés à un taux supérieur de 1,5 % au premier taux.
• La somme des intérêts annuels obtenus est de 3 000 fr.

Étape 1 : Définir les variables

Soit \(r\) le taux d’intérêt (en pourcentage) appliqué à la somme de 36 000 fr.

Le taux d’intérêt appliqué à la somme de 24 000 fr sera donc \(r + 1,5\) %.

Étape 2 : Calculer les intérêts obtenus par chaque somme

Les intérêts annuels se calculent selon la formule :

\[ \text{Intérêt} = \text{Capital} \times \frac{\text{Taux}}{100} \]

Pour la somme de 36 000 fr :

\[ I_1 = 36\,000 \times \frac{r}{100} = 360\,r \quad \text{(en francs)} \]

Pour la somme de 24 000 fr :

\[ I_2 = 24\,000 \times \frac{r + 1,5}{100} = 240\, (r + 1,5) \quad \text{(en francs)} \]

Étape 3 : Écrire l’équation des intérêts totaux

La somme des intérêts des deux placements est de 3 000 fr :

\[ I_1 + I_2 = 3\,000 \]

En remplaçant \(I_1\) et \(I_2\) par leurs expressions respectives :

\[ 360\,r + 240\,(r + 1,5) = 3\,000 \]

Étape 4 : Développer et résoudre l’équation

Développons l’équation :

\[ 360\,r + 240\,r + 240 \times 1,5 = 3\,000 \]

Calculons \(240 \times 1,5\) :

\[ 240 \times 1,5 = 360 \]

L’équation devient :

\[ 360\,r + 240\,r + 360 = 3\,000 \]

Combinons les termes en \(r\) :

\[ 600\,r + 360 = 3\,000 \]

Soustrayons 360 des deux côtés de l’équation :

\[ 600\,r = 3\,000 - 360 \]

\[ 600\,r = 2\,640 \]

Divisons par 600 pour isoler \(r\) :

\[ r = \frac{2\,640}{600} = 4,4\% \]

Étape 5 : Déterminer le second taux d’intérêt

Le taux appliqué aux 24 000 fr est supérieur de 1,5 % :

\[ r + 1,5 = 4,4\% + 1,5\% = 5,9\% \]

Conclusion

Les deux taux d’intérêt sont donc :

• 4,4 % pour les 36 000 fr
• 5,9 % pour les 24 000 fr