36 000 fr sont placés à un certain taux. 24 000 fr sont placés à un taux supérieur de \(1,5\%\) au précédent. La somme des intérêts annuels est de 3 000 fr. À quels taux ces deux sommes ont-elles été placées ?
Les taux d’intérêt sont de 4,4 % pour les 36 000 fr et de 5,9 % pour les 24 000 fr.
Nous devons déterminer les taux d’intérêt auxquels deux sommes d’argent sont placées, sachant que :
Soit \(r\) le taux d’intérêt (en pourcentage) appliqué à la somme de 36 000 fr.
Le taux d’intérêt appliqué à la somme de 24 000 fr sera donc \(r + 1,5\) %.
Les intérêts annuels se calculent selon la formule :
\[ \text{Intérêt} = \text{Capital} \times \frac{\text{Taux}}{100} \]
Pour la somme de 36 000 fr :
\[ I_1 = 36\,000 \times \frac{r}{100} = 360\,r \quad \text{(en francs)} \]
Pour la somme de 24 000 fr :
\[ I_2 = 24\,000 \times \frac{r + 1,5}{100} = 240\, (r + 1,5) \quad \text{(en francs)} \]
La somme des intérêts des deux placements est de 3 000 fr :
\[ I_1 + I_2 = 3\,000 \]
En remplaçant \(I_1\) et \(I_2\) par leurs expressions respectives :
\[ 360\,r + 240\,(r + 1,5) = 3\,000 \]
Développons l’équation :
\[ 360\,r + 240\,r + 240 \times 1,5 = 3\,000 \]
Calculons \(240 \times 1,5\) :
\[ 240 \times 1,5 = 360 \]
L’équation devient :
\[ 360\,r + 240\,r + 360 = 3\,000 \]
Combinons les termes en \(r\) :
\[ 600\,r + 360 = 3\,000 \]
Soustrayons 360 des deux côtés de l’équation :
\[ 600\,r = 3\,000 - 360 \]
\[ 600\,r = 2\,640 \]
Divisons par 600 pour isoler \(r\) :
\[ r = \frac{2\,640}{600} = 4,4\% \]
Le taux appliqué aux 24 000 fr est supérieur de 1,5 % :
\[ r + 1,5 = 4,4\% + 1,5\% = 5,9\% \]
Les deux taux d’intérêt sont donc :