Exercice 148

Le rayon de la Lune est d’environ \(1700\) km. Quelle est la vitesse de déplacement d’un point situé à l’équateur de la Lune par rapport à l’axe de rotation de celle-ci ?

Réponse

Un point à l’équateur de la Lune se déplace à environ 4,6 m/s par rapport à son axe de rotation. Ce calcul utilise la formule de la vitesse tangentielle \(v = \frac{2\pi R}{T}\) avec un rayon de 1 700 km et une période de rotation de 27 jours.

Corrigé détaillé

Pour déterminer la vitesse de déplacement d’un point situé à l’équateur de la Lune par rapport à l’axe de rotation, nous allons suivre plusieurs étapes méthodiques.

1. Comprendre les données fournies

2. Identifier la formule pertinente

La vitesse de déplacement d’un point à l’équateur peut être calculée en utilisant la formule de la vitesse tangentielle dans le cadre du mouvement circulaire uniforme :

\[ v = \frac{2\pi R}{T} \]

où : - \(v\) est la vitesse tangentielle (en mètres par seconde, m/s), - \(R\) est le rayon (en mètres, m), - \(T\) est la période de rotation (en secondes, s), - \(\pi\) est une constante approximativement égale à \(3.1416\).

3. Conversion des unités

Avant d’appliquer la formule, il est essentiel de s’assurer que toutes les unités sont compatibles.

a) Convertir le rayon en mètres

\[ R = 1700\ \text{km} = 1700 \times 10^3\ \text{m} = 1\,700\,000\ \text{m} \]

b) Convertir la période de rotation en secondes

Sachant qu’un jour compte \(24\) heures, une heure \(60\) minutes et une minute \(60\) secondes :

\[ T = 27\ \text{jours} \times 24\ \frac{\text{heures}}{\text{jour}} \times 60\ \frac{\text{minutes}}{\text{heure}} \times 60\ \frac{\text{secondes}}{\text{minute}} \]

Calculons :

\[ T = 27 \times 24 \times 60 \times 60 = 27 \times 86\,400 = 2\,332\,800\ \text{secondes} \]

4. Appliquer la formule

Maintenant que toutes les unités sont compatibles, substituons les valeurs dans la formule :

\[ v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2 \times 3.1416 \times 1\,700\,000\ \text{m}}{2\,332\,800\ \text{s}} \]

Calculons le numérateur et le dénominateur séparément :

\[ 2 \times \pi \times R = 2 \times 3.1416 \times 1\,700\,000 \approx 10\,681\,400\ \text{m} \]

\[ T = 2\,332\,800\ \text{s} \]

Ainsi,

\[ v = \frac{10\,681\,400\ \text{m}}{2\,332\,800\ \text{s}} \approx 4.58\ \text{m/s} \]

5. Résultat final

Un point situé à l’équateur de la Lune se déplace donc à une vitesse d’environ 4,6 mètres par seconde par rapport à l’axe de rotation de la Lune.

6. Interprétation

Cette vitesse peut sembler modeste, mais elle est suffisante pour qu’un astronaute en mouvement puisse ressentir le déplacement dû à la rotation lunaire. De plus, cette vitesse influe sur les conditions de vie et d’exploration à la surface de la Lune.

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