Exercice 139

Un capital placé à \(5 \%\) se monte à 2000 fr. après 10 mois. Quel est ce capital ?

Réponse

Le capital initial placé à 5 % sur 10 mois, atteignant 2000 francs, est de 1920 francs.

Corrigé détaillé

Pour déterminer le capital initial placé à un taux d’intérêt de \(5\%\) qui se monte à \(2000\) francs après \(10\) mois, nous allons suivre les étapes suivantes :

Étape 1 : Comprendre les données du problème

Étape 2 : Convertir la durée en années

Les taux d’intérêt sont généralement exprimés sur une base annuelle. Comme la durée donnée est en mois, nous devons la convertir en années :

\[ t = \frac{10 \text{ mois}}{12 \text{ mois par an}} = \frac{5}{6} \text{ année} \]

Étape 3 : Utiliser la formule des intérêts simples

La formule des intérêts simples est :

\[ A = C \times (1 + r \times t) \]

Où : - \(A\) est le montant final. - \(C\) est le capital initial. - \(r\) est le taux d’intérêt annuel. - \(t\) est la durée en années.

Étape 4 : Remplacer les valeurs dans la formule

Nous connaissons \(A\), \(r\) et \(t\), nous pouvons donc remplacer ces valeurs dans la formule pour trouver \(C\) :

\[ 2000 = C \times \left(1 + 0,05 \times \frac{5}{6}\right) \]

Étape 5 : Calculer l’expression entre parenthèses

Calculons d’abord le terme \(1 + r \times t\) :

\[ 1 + 0,05 \times \frac{5}{6} = 1 + \frac{0,25}{6} = 1 + 0,041666\ldots = 1,041666\ldots \]

Pour simplifier, nous pouvons exprimer \(1,041666\ldots\) sous forme fractionnaire :

\[ 1 + \frac{0,25}{6} = 1 + \frac{1}{24} = \frac{24}{24} + \frac{1}{24} = \frac{25}{24} \]

Ainsi, la formule devient :

\[ 2000 = C \times \frac{25}{24} \]

Étape 6 : Isoler le capital initial (\(C\))

Pour trouver \(C\), divisons les deux côtés de l’équation par \(\frac{25}{24}\) :

\[ C = 2000 \div \frac{25}{24} = 2000 \times \frac{24}{25} \]

Étape 7 : Effectuer le calcul

Calculons :

\[ 2000 \times \frac{24}{25} = 2000 \times 0,96 = 1920 \]

Conclusion

Le capital initial placé à \(5\%\) qui se monte à \(2000\) francs après \(10\) mois est de \(1920\) francs.

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