Un capital placé à \(5 \%\) se monte à 2000 fr. après 10 mois. Quel est ce capital ?
Le capital initial placé à 5 % sur 10 mois, atteignant 2000 francs, est de 1920 francs.
Pour déterminer le capital initial placé à un taux d’intérêt de \(5\%\) qui se monte à \(2000\) francs après \(10\) mois, nous allons suivre les étapes suivantes :
Les taux d’intérêt sont généralement exprimés sur une base annuelle. Comme la durée donnée est en mois, nous devons la convertir en années :
\[ t = \frac{10 \text{ mois}}{12 \text{ mois par an}} = \frac{5}{6} \text{ année} \]
La formule des intérêts simples est :
\[ A = C \times (1 + r \times t) \]
Où : - \(A\) est le montant final. - \(C\) est le capital initial. - \(r\) est le taux d’intérêt annuel. - \(t\) est la durée en années.
Nous connaissons \(A\), \(r\) et \(t\), nous pouvons donc remplacer ces valeurs dans la formule pour trouver \(C\) :
\[ 2000 = C \times \left(1 + 0,05 \times \frac{5}{6}\right) \]
Calculons d’abord le terme \(1 + r \times t\) :
\[ 1 + 0,05 \times \frac{5}{6} = 1 + \frac{0,25}{6} = 1 + 0,041666\ldots = 1,041666\ldots \]
Pour simplifier, nous pouvons exprimer \(1,041666\ldots\) sous forme fractionnaire :
\[ 1 + \frac{0,25}{6} = 1 + \frac{1}{24} = \frac{24}{24} + \frac{1}{24} = \frac{25}{24} \]
Ainsi, la formule devient :
\[ 2000 = C \times \frac{25}{24} \]
Pour trouver \(C\), divisons les deux côtés de l’équation par \(\frac{25}{24}\) :
\[ C = 2000 \div \frac{25}{24} = 2000 \times \frac{24}{25} \]
Calculons :
\[ 2000 \times \frac{24}{25} = 2000 \times 0,96 = 1920 \]
Le capital initial placé à \(5\%\) qui se monte à \(2000\) francs après \(10\) mois est de \(1920\) francs.