Exercice 138

Un escalier roulant a une pente de \(16\,\%\) et relie deux étages dont la différence de niveau est de 4,4 m. Sur le plan du magasin, sa longueur est de 55 cm. Calculer l’échelle de ce plan.

Réponse

L’échelle du plan est de 1 : 50.

Corrigé détaillé

Nous devons trouver l’échelle du plan qui représente l’escalier roulant. Pour cela, il nous faut comparer la longueur réelle horizontale que parcourt l’escalier à sa représentation sur le plan.

Étape 1 : Déterminer la longueur réelle horizontale

L’escalier a une pente de 16 %. Cette pente signifie que pour 100 unités mesurées horizontalement, l’escalier élève de 16 unités. Autrement dit, le pourcentage de la pente est donné par :

  pente = (dénivelé / longueur horizontale) × 100

On connaît le dénivelé, qui est de 4,4 m. On peut donc écrire :

  16 = (4,4 / longueur horizontale) × 100

Pour trouver la longueur horizontale (dont on notera Lh), nous résolvons l’équation :

  Lh = 4,4 / (16/100) = 4,4 / 0,16

En effectuant le calcul :

  Lh = 27,5 m

Étape 2 : Convertir la longueur réelle pour comparer avec le plan

Sur le plan du magasin, l’escalier a une longueur de 55 cm. Comme le plan est une vue de dessus, la représentation correspond à la projection horizontale de l’escalier, soit bien 27,5 m en réalité. Pour comparer directement, nous convertissons 27,5 m en centimètres :

  27,5 m = 27,5 × 100 = 2750 cm

Étape 3 : Calcul de l’échelle du plan

L’échelle se calcule en comparant la longueur réelle (convertie en cm) à la longueur sur le plan. Ainsi, nous avons :

  Échelle = longueur réelle / longueur sur le plan = 2750 cm / 55 cm

Effectuons la division :

  2750 ÷ 55 = 50

Donc, l’échelle du plan est de 1/50, ce qui se lit « un à cinquante ».

Conclusion :

L’échelle du plan du magasin est de 1 : 50.