Exercice 134

Un capital \(A\) placé à \(3\,\%\) pendant 2 ans rapporte le même intérêt qu’un capital \(B\) placé à \(4,5\,\%\) pendant 20 mois. Trouvez les capitaux \(A\) et \(B\), ainsi que l’intérêt généré par chacun, sachant que la somme des capitaux est de 36 000 fr.

Réponse

Les capitaux sont :

Chaque capital génère un intérêt de 1 200 francs.

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer les valeurs des capitaux \(A\) et \(B\), ainsi que les intérêts générés par chacun, en suivant les étapes suivantes :

Données du problème
Étape 1 : Calculer l’intérêt généré par chaque capital

L’intérêt généré par un capital peut être calculé à l’aide de la formule : \[ I = C \times r \times t \] où : - \(I\) est l’intérêt, - \(C\) est le capital, - \(r\) est le taux d’intérêt annuel (sous forme décimale), - \(t\) est le temps en années.

Pour le capital \(A\) : \[ I_A = A \times 0,03 \times 2 = 0,06\,A \]

Pour le capital \(B\) : Avant de calculer l’intérêt, convertissons la durée de 20 mois en années : \[ 20\,\text{mois} = \frac{20}{12}\,\text{ans} \approx 1,6667\,\text{ans} \] Ensuite, calculons l’intérêt : \[ I_B = B \times 0,045 \times \frac{20}{12} = B \times 0,045 \times \frac{5}{3} = 0,075\,B \]

Étape 2 : Établir l’égalité des intérêts

D’après l’énoncé, les intérêts générés par les deux capitaux sont égaux : \[ I_A = I_B \\ 0,06\,A = 0,075\,B \]

Étape 3 : Exprimer une variable en fonction de l’autre

À partir de l’équation précédente : \[ 0,06\,A = 0,075\,B \\ \frac{A}{B} = \frac{0,075}{0,06} = \frac{5}{4} \\ A = \frac{5}{4}\,B \]

Étape 4 : Utiliser la somme des capitaux pour trouver \(B\)

Nous savons que : \[ A + B = 36\,000 \] Remplaçons \(A\) par \(\frac{5}{4}\,B\) : \[ \frac{5}{4}\,B + B = 36\,000 \\ \frac{9}{4}\,B = 36\,000 \\ B = 36\,000 \times \frac{4}{9} \\ B = 16\,000\ \text{francs} \]

Étape 5 : Déterminer le capital \(A\)

En utilisant \(A = \frac{5}{4}\,B\) : \[ A = \frac{5}{4} \times 16\,000 = 20\,000\ \text{francs} \]

Étape 6 : Calculer les intérêts générés par chaque capital

Intérêt généré par \(A\) : \[ I_A = 0,06 \times 20\,000 = 1\,200\ \text{francs} \]

Intérêt généré par \(B\) : \[ I_B = 0,075 \times 16\,000 = 1\,200\ \text{francs} \]

Conclusion

Ainsi, les deux capitaux répondent aux conditions du problème avec les intérêts égaux et une somme totale de \(36\,000\) francs.

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