Partager 2250 francs entre trois personnes de telle sorte que la part de la deuxième personne soit la \(\frac{3}{2}\) de celle de la première et que la part de la troisième personne soit le double de celle de la première.
La répartition des 2250 francs est la suivante : - Première personne : 500 francs - Deuxième personne : 750 francs - Troisième personne : 1000 francs
Problème :
Partager 2250 francs entre trois personnes de telle sorte que la part de la deuxième personne soit la \(\frac{3}{2}\) de celle de la première et que la part de la troisième personne soit le double de celle de la première.
Pour résoudre ce problème, commençons par définir une variable pour représenter la part de la première personne.
Selon l’énoncé :
La part de la deuxième personne est \(\frac{3}{2}\) fois celle de la première : \[ \text{Part de la deuxième personne} = \frac{3}{2}x \]
La part de la troisième personne est le double de celle de la première : \[ \text{Part de la troisième personne} = 2x \]
La somme des parts des trois personnes doit être égale à 2250 francs. Ainsi, nous pouvons écrire l’équation suivante :
\[ x + \frac{3}{2}x + 2x = 2250 \]
Pour résoudre cette équation, il est préférable de éliminer les fractions en multipliant chaque terme par 2 :
\[ 2x + 3x + 4x = 4500 \]
Ensuite, additionnons les termes similaires :
\[ (2x + 3x + 4x) = 9x \\ 9x = 4500 \]
Pour trouver la valeur de \(x\), divisons les deux côtés de l’équation par 9 :
\[ x = \frac{4500}{9} \\ x = 500 \]
Maintenant que nous connaissons la valeur de \(x\), nous pouvons calculer les parts de chaque personne :
Première personne : \[ x = 500 \text{ francs} \]
Deuxième personne : \[ \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} \times 500 = 750 \text{ francs} \]
Troisième personne : \[ 2x = 2 \times 500 = 1000 \text{ francs} \]
Pour s’assurer que la somme des parts est bien égale à 2250 francs :
\[ 500 + 750 + 1000 = 2250 \text{ francs} \]
La répartition est donc correcte.
Les parts de chaque personne sont les suivantes :