Question : Dans le modèle d’une roue de bicyclette, la roue est constituée d’un cercle et d’un axe central autour duquel elle tourne.
Sachant que le rayon de la roue est de \(0{,}3\ \mathrm{m}\) et que la roue effectue \(20\) tours par minute, quelle distance parcourt le vélo en une année ?
Le vélo parcourt environ 19 824 kilomètres en un an.
Correction détaillée :
Pour déterminer la distance parcourue par le vélo en une année, nous allons procéder étape par étape en utilisant les données fournies.
Données : - Rayon de la roue, \(r = 0{,}3\ \mathrm{m}\) - Nombre de tours par minute, \(n = 20\) tours/minute
Étape 1 : Calculer la circonférence de la roue
La circonférence \(C\) d’un cercle se calcule grâce à la formule : \[ C = 2 \pi r \] où \(\pi\) est une constante approximativement égale à 3,1416.
En remplaçant \(r\) par 0,3 m : \[ C = 2 \times \pi \times 0{,}3\ \mathrm{m} = 0{,}6\,\pi\ \mathrm{m} \]
Étape 2 : Déterminer la distance parcourue en une minute
Si la roue fait 20 tours en une minute, la distance parcourue en une minute \(D_{\text{minute}}\) est : \[ D_{\text{minute}} = \text{nombre de tours} \times \text{circonférence} \] \[ D_{\text{minute}} = 20 \times 0{,}6\,\pi\ \mathrm{m} = 12\,\pi\ \mathrm{m} \]
Étape 3 : Calculer la distance parcourue en une heure
Il y a 60 minutes dans une heure. Donc, la distance parcourue en une heure \(D_{\text{heure}}\) est : \[ D_{\text{heure}} = D_{\text{minute}} \times 60 \] \[ D_{\text{heure}} = 12\,\pi\ \mathrm{m} \times 60 = 720\,\pi\ \mathrm{m} \]
Étape 4 : Calculer la distance parcourue en une journée
Supposons que le vélo est utilisé tous les jours, c’est-à-dire 24 heures par jour. La distance parcourue en une journée \(D_{\text{jour}}\) est : \[ D_{\text{jour}} = D_{\text{heure}} \times 24 \] \[ D_{\text{jour}} = 720\,\pi\ \mathrm{m} \times 24 = 17\,280\,\pi\ \mathrm{m} \]
Étape 5 : Calculer la distance parcourue en une année
Enfin, pour obtenir la distance parcourue en une année \(D_{\text{année}}\), nous multiplions la distance quotidienne par le nombre de jours dans une année (365 jours) : \[ D_{\text{année}} = D_{\text{jour}} \times 365 \] \[ D_{\text{année}} = 17\,280\,\pi\ \mathrm{m} \times 365 = 6\,307\,200\,\pi\ \mathrm{m} \]
Étape 6 : Convertir la distance en kilomètres
Pour une meilleure compréhension, convertissons la distance en kilomètres. Sachant que \(1\,\mathrm{km} = 1\,000\,\mathrm{m}\) : \[ D_{\text{année}} = \frac{6\,307\,200\,\pi\ \mathrm{m}}{1\,000} = 6\,307{,}2\,\pi\ \mathrm{km} \] \[ D_{\text{année}} \approx 6\,307{,}2 \times 3{,}1416 \approx 19\,824\ \mathrm{km} \]
Conclusion :
Le vélo parcourt environ 19 824 kilomètres en une année.