Question :
Une cuve d’une capacité de 400 litres est alimentée par deux robinets, l’un d’eau claire dont le débit est de \(20\, \mathrm{l}/\mathrm{min}\) et un autre d’eau colorée.
Lorsqu’on remplit la cuve vide avec de l’eau colorée, il faut 15 minutes de plus que si on la remplit avec de l’eau claire.
Combien de temps faudra-t-il pour remplir la cuve vide si l’on ouvre les deux robinets en même temps ?
Il faudra environ 12,73 minutes pour remplir la cuve en ouvrant les deux robinets simultanément.
Correction détaillée :
Énoncé du problème :
Objectif : Déterminer le temps nécessaire pour remplir la cuve vide en ouvrant les deux robinets en même temps.
Étape 1 : Calculer le temps nécessaire pour remplir la cuve avec de l’eau claire seule
Le débit du robinet d’eau claire est \(Q_c = 20\, \mathrm{l}/\mathrm{min}\).
Le temps (\(t_c\)) nécessaire pour remplir la cuve avec de l’eau claire se calcule en divisant la capacité de la cuve par le débit :
\[ t_c = \frac{\text{Capacité de la cuve}}{\text{Débit}} = \frac{400\, \mathrm{l}}{20\, \mathrm{l}/\mathrm{min}} = 20\, \mathrm{minutes} \]
Étape 2 : Déterminer le temps nécessaire pour remplir la cuve avec de l’eau colorée seule
Il est indiqué que remplir la cuve avec de l’eau colorée prend 15 minutes de plus que l’eau claire. Donc, le temps (\(t_{colorée}\)) est :
\[ t_{colorée} = t_c + 15\, \mathrm{minutes} = 20\, \mathrm{minutes} + 15\, \mathrm{minutes} = 35\, \mathrm{minutes} \]
Étape 3 : Calculer le débit du robinet d’eau colorée
Le débit (\(Q_{colorée}\)) du robinet d’eau colorée peut être calculé en utilisant la formule :
\[ Q = \frac{\text{Capacité de la cuve}}{\text{Temps nécessaire}} \]
Appliquons cette formule pour l’eau colorée :
\[ Q_{colorée} = \frac{400\, \mathrm{l}}{35\, \mathrm{min}} \approx 11.4286\, \mathrm{l}/\mathrm{min} \]
Étape 4 : Calculer le débit total lorsque les deux robinets sont ouverts simultanément
Lorsque les deux robinets sont ouverts en même temps, leurs débits s’additionnent :
\[ Q_{total} = Q_c + Q_{colorée} = 20\, \mathrm{l}/\mathrm{min} + 11.4286\, \mathrm{l}/\mathrm{min} = 31.4286\, \mathrm{l}/\mathrm{min} \]
Étape 5 : Calculer le temps nécessaire pour remplir la cuve avec les deux robinets ouverts
Le temps total (\(t_{total}\)) pour remplir la cuve est obtenu en divisant la capacité de la cuve par le débit total :
\[ t_{total} = \frac{\text{Capacité de la cuve}}{Q_{total}} = \frac{400\, \mathrm{l}}{31.4286\, \mathrm{l}/\mathrm{min}} \approx 12.7273\, \mathrm{minutes} \]
Conclusion :
Il faudra environ 12,73 minutes pour remplir la cuve vide en ouvrant les deux robinets en même temps.