Exercice 108

Diviser le nombre 837 en parts \(x\), \(y\) et \(z\) inversement proportionnelles aux nombres 3, 4 et 6.

Réponse

Réponse : x = 372, y = 279, z = 186.

Corrigé détaillé

Nous devons diviser 837 en trois parts x, y et z telles que ces parts soient inversement proportionnelles aux nombres 3, 4 et 6. Cela signifie que plus le nombre « de référence » est grand, plus la part correspondante est petite. Pour exprimer cette relation, on va introduire une constante k telle que :

  x = k ÷ 3    (1)   y = k ÷ 4    (2)   z = k ÷ 6    (3)

L’idée est que le rapport entre chaque part et l’inverse du nombre qui lui est associé est constant.

1. Nous savons que la somme des parts vaut 837 :   x + y + z = 837

2. En remplaçant x, y et z par leurs expressions en fonction de k, nous obtenons :   (k/3) + (k/4) + (k/6) = 837

3. Pour additionner ces fractions, nous cherchons un dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 3, 4 et 6 est 12. Transformons chaque fraction :   k/3 = (4k)/12   k/4 = (3k)/12   k/6 = (2k)/12

4. La somme devient alors :   (4k + 3k + 2k) / 12 = 837   (9k)/12 = 837

5. Simplifions la fraction (9k)/12 en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 :   (3k)/4 = 837

6. Pour trouver k, multiplions les deux côtés de l’équation par 4 :   3k = 837 × 4
     3k = 3348

7. Divisons ensuite par 3 :   k = 3348 ÷ 3
     k = 1116

8. Maintenant que nous connaissons k, calculons les valeurs de x, y et z :   x = k ÷ 3 = 1116 ÷ 3 = 372   y = k ÷ 4 = 1116 ÷ 4 = 279   z = k ÷ 6 = 1116 ÷ 6 = 186

9. Vérifions que la somme des parts est bien égale à 837 :   372 + 279 + 186 = 837

Ainsi, en divisant 837 en parts inversement proportionnelles à 3, 4 et 6, nous obtenons :   x = 372, y = 279, z = 186.