Diviser le nombre 837 en parts \(x\), \(y\) et \(z\) inversement proportionnelles aux nombres 3, 4 et 6.
Réponse : x = 372, y = 279, z = 186.
Nous devons diviser 837 en trois parts x, y et z telles que ces parts soient inversement proportionnelles aux nombres 3, 4 et 6. Cela signifie que plus le nombre « de référence » est grand, plus la part correspondante est petite. Pour exprimer cette relation, on va introduire une constante k telle que :
x = k ÷ 3 (1) y = k ÷ 4 (2) z = k ÷ 6 (3)
L’idée est que le rapport entre chaque part et l’inverse du nombre qui lui est associé est constant.
Nous savons que la somme des parts vaut 837 : x + y + z = 837
En remplaçant x, y et z par leurs expressions en fonction de k, nous obtenons : (k/3) + (k/4) + (k/6) = 837
Pour additionner ces fractions, nous cherchons un dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 3, 4 et 6 est 12. Transformons chaque fraction : k/3 = (4k)/12 k/4 = (3k)/12 k/6 = (2k)/12
La somme devient alors : (4k + 3k + 2k) / 12 = 837 (9k)/12 = 837
Simplifions la fraction (9k)/12 en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 : (3k)/4 = 837
Pour trouver k, multiplions les deux côtés de l’équation par 4 : 3k = 837 × 4
3k = 3348
Divisons ensuite par 3 : k = 3348 ÷ 3
k = 1116
Maintenant que nous connaissons k, calculons les valeurs de x, y et z : x = k ÷ 3 = 1116 ÷ 3 = 372 y = k ÷ 4 = 1116 ÷ 4 = 279 z = k ÷ 6 = 1116 ÷ 6 = 186
Vérifions que la somme des parts est bien égale à 837 : 372 + 279 + 186 = 837
Ainsi, en divisant 837 en parts inversement proportionnelles à 3, 4 et 6, nous obtenons : x = 372, y = 279, z = 186.