Exercice 107
Si on augmente les dimensions d’un rectangle de \(10\,\%\), quelle est l’augmentation, en %, de l’aire du rectangle ?
Si on augmente le rayon d’un disque de \(10\,\%\), quelle est l’augmentation, en %, de l’aire du disque ?
Réponse
Lorsque les dimensions d’un rectangle ou le rayon d’un disque augmentent de 10 %, l’aire augmente de 21 %.
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice 1
Énoncé : Si on augmente les dimensions d’un rectangle de \(10\,\%\), quelle est l’augmentation, en %, de l’aire du rectangle ?
Solution :
Comprendre le problème :
- Un rectangle a deux dimensions : la longueur (\(L\)) et la largeur (\(l\)).
- Augmenter les dimensions de \(10\,\%\) signifie augmenter à la fois la longueur et la largeur de \(10\,\%\).
Définir les dimensions initiales :
- Supposons que la longueur initiale est \(L\) et la largeur initiale est \(l\).
- L’aire initiale du rectangle est donc : \[
A_{\text{initiale}} = L \times l
\]
Augmenter les dimensions de \(10\,\%\) :
- Une augmentation de \(10\,\%\) signifie multiplier par \(1 + 0,10 = 1,10\).
- La nouvelle longueur devient : \[
L_{\text{nouvelle}} = L \times 1,10 = 1,10L
\]
- La nouvelle largeur devient : \[
l_{\text{nouvelle}} = l \times 1,10 = 1,10l
\]
Calculer la nouvelle aire : \[
A_{\text{nouvelle}} = L_{\text{nouvelle}} \times l_{\text{nouvelle}} = (1,10L) \times (1,10l) = 1,10 \times 1,10 \times L \times l = 1,21 \times L \times l
\]
Déterminer l’augmentation de l’aire :
- L’augmentation en pourcentage est donnée par : \[
\text{Augmentation} = \left( \frac{A_{\text{nouvelle}} - A_{\text{initiale}}}{A_{\text{initiale}}} \right) \times 100\%
\]
- En substituant les valeurs : \[
\text{Augmentation} = \left( \frac{1,21 L l - L l}{L l} \right) \times 100\% = (1,21 - 1) \times 100\% = 0,21 \times 100\% = 21\%
\]
Réponse : L’aire du rectangle augmente de \(21\,\%\).
Correction de l’exercice 2
Énoncé : Si on augmente le rayon d’un disque de \(10\,\%\), quelle est l’augmentation, en %, de l’aire du disque ?
Solution :
Comprendre le problème :
- Un disque a un rayon (\(r\)).
- Augmenter le rayon de \(10\,\%\) signifie multiplier le rayon par \(1,10\).
Définir le rayon initial :
- Supposons que le rayon initial est \(r\).
- L’aire initiale du disque est donnée par la formule : \[
A_{\text{initiale}} = \pi r^2
\]
Augmenter le rayon de \(10\,\%\) :
- Le nouveau rayon devient : \[
r_{\text{nouveau}} = r \times 1,10 = 1,10r
\]
Calculer la nouvelle aire : \[
A_{\text{nouvelle}} = \pi (r_{\text{nouveau}})^2 = \pi (1,10r)^2 = \pi \times 1,21r^2 = 1,21 \times \pi r^2
\]
Déterminer l’augmentation de l’aire :
- L’augmentation en pourcentage est donnée par : \[
\text{Augmentation} = \left( \frac{A_{\text{nouvelle}} - A_{\text{initiale}}}{A_{\text{initiale}}} \right) \times 100\%
\]
- En substituant les valeurs : \[
\text{Augmentation} = \left( \frac{1,21 \pi r^2 - \pi r^2}{\pi r^2} \right) \times 100\% = (1,21 - 1) \times 100\% = 0,21 \times 100\% = 21\%
\]
Réponse : L’aire du disque augmente de \(21\,\%\).