Exercice 107

1. Si on augmente les dimensions d’un rectangle de \(10\,\%\), quelle est l’augmentation, en %, de l’aire du rectangle ?

2. Si on augmente le rayon d’un disque de \(10\,\%\), quelle est l’augmentation, en %, de l’aire du disque ?

Réponse

Lorsque les dimensions d’un rectangle ou le rayon d’un disque augmentent de 10 %, l’aire augmente de 21 %.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice 1

Énoncé : Si on augmente les dimensions d’un rectangle de \(10\,\%\), quelle est l’augmentation, en %, de l’aire du rectangle ?

Solution :

1. Comprendre le problème :

   • Un rectangle a deux dimensions : la longueur (\(L\)) et la largeur (\(l\)).
   • Augmenter les dimensions de \(10\,\%\) signifie augmenter à la fois la longueur et la largeur de \(10\,\%\).

2. Définir les dimensions initiales :

   • Supposons que la longueur initiale est \(L\) et la largeur initiale est \(l\).
   • L’aire initiale du rectangle est donc : \[ A_{\text{initiale}} = L \times l \]

3. Augmenter les dimensions de \(10\,\%\) :

   • Une augmentation de \(10\,\%\) signifie multiplier par \(1 + 0,10 = 1,10\).
   • La nouvelle longueur devient : \[ L_{\text{nouvelle}} = L \times 1,10 = 1,10L \]
   • La nouvelle largeur devient : \[ l_{\text{nouvelle}} = l \times 1,10 = 1,10l \]

4. Calculer la nouvelle aire : \[ A_{\text{nouvelle}} = L_{\text{nouvelle}} \times l_{\text{nouvelle}} = (1,10L) \times (1,10l) = 1,10 \times 1,10 \times L \times l = 1,21 \times L \times l \]

5. Déterminer l’augmentation de l’aire :

   • L’augmentation en pourcentage est donnée par : \[ \text{Augmentation} = \left( \frac{A_{\text{nouvelle}} - A_{\text{initiale}}}{A_{\text{initiale}}} \right) \times 100\% \]
   • En substituant les valeurs : \[ \text{Augmentation} = \left( \frac{1,21 L l - L l}{L l} \right) \times 100\% = (1,21 - 1) \times 100\% = 0,21 \times 100\% = 21\% \]

Réponse : L’aire du rectangle augmente de \(21\,\%\).

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Correction de l’exercice 2

Énoncé : Si on augmente le rayon d’un disque de \(10\,\%\), quelle est l’augmentation, en %, de l’aire du disque ?

Solution :

1. Comprendre le problème :

   • Un disque a un rayon (\(r\)).
   • Augmenter le rayon de \(10\,\%\) signifie multiplier le rayon par \(1,10\).

2. Définir le rayon initial :

   • Supposons que le rayon initial est \(r\).
   • L’aire initiale du disque est donnée par la formule : \[ A_{\text{initiale}} = \pi r^2 \]

3. Augmenter le rayon de \(10\,\%\) :

   • Le nouveau rayon devient : \[ r_{\text{nouveau}} = r \times 1,10 = 1,10r \]

4. Calculer la nouvelle aire : \[ A_{\text{nouvelle}} = \pi (r_{\text{nouveau}})^2 = \pi (1,10r)^2 = \pi \times 1,21r^2 = 1,21 \times \pi r^2 \]

5. Déterminer l’augmentation de l’aire :

   • L’augmentation en pourcentage est donnée par : \[ \text{Augmentation} = \left( \frac{A_{\text{nouvelle}} - A_{\text{initiale}}}{A_{\text{initiale}}} \right) \times 100\% \]
   • En substituant les valeurs : \[ \text{Augmentation} = \left( \frac{1,21 \pi r^2 - \pi r^2}{\pi r^2} \right) \times 100\% = (1,21 - 1) \times 100\% = 0,21 \times 100\% = 21\% \]

Réponse : L’aire du disque augmente de \(21\,\%\).