Un capital de 6000 fr. a rapporté un intérêt annuel de 320 fr. Le taux est passé en cours d’année de \(6\%\) à \(5\%\). Pendant combien de mois le capital a-t-il été placé à \(6\%\) ?
Le capital de 6000 fr. a été placé pendant 4 mois au taux de 6 % et 8 mois au taux de 5 %, totalisant un intérêt de 320 fr.
Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer pendant combien de mois le capital a été placé au taux de 6 %, puis au taux de 5 %. Suivons les étapes ci-dessous.
Déterminer pendant combien de mois (\(m\)) le capital a été placé au taux de 6 %.
Comprendre les intérêts simples : L’intérêt simple est calculé en multipliant le capital par le taux d’intérêt et par le temps (en années).
\[ I = C \times T \times t \]
Où :
Diviser l’année en deux périodes :
Calculer l’intérêt pour chaque période :
Première période : \[ I_1 = C \times T_1 \times \left( \frac{m}{12} \right) \]
Seconde période : \[ I_2 = C \times T_2 \times \left( \frac{12 - m}{12} \right) \]
Exprimer l’intérêt total :
\[ I_{total} = I_1 + I_2 \]
Remplaçons par les expressions précédentes :
\[ 320 = 6000 \times 0,06 \times \left( \frac{m}{12} \right) + 6000 \times 0,05 \times \left( \frac{12 - m}{12} \right) \]
Simplifier l’équation :
\[ 320 = 6000 \times \left( 0,06 \times \frac{m}{12} + 0,05 \times \frac{12 - m}{12} \right) \]
Simplifions les termes :
\[ 320 = 6000 \times \left( \frac{0,06m + 0,05 \times 12 - 0,05m}{12} \right) \]
\[ 320 = 6000 \times \left( \frac{0,06m + 0,60 - 0,05m}{12} \right) \]
\[ 320 = 6000 \times \left( \frac{0,01m + 0,60}{12} \right) \]
Isoler \(m\) :
Multipliant les deux côtés par 12 :
\[ 320 \times 12 = 6000 \times (0,01m + 0,60) \]
\[ 3840 = 6000 \times 0,01m + 6000 \times 0,60 \]
\[ 3840 = 60m + 3600 \]
Soustrayant 3600 des deux côtés :
\[ 3840 - 3600 = 60m \]
\[ 240 = 60m \]
Divisant par 60 :
\[ m = \frac{240}{60} = 4 \]
Le capital a été placé pendant 4 mois au taux de 6 % et les 8 mois restants au taux de 5 %.