Exercice 106

Un capital de 6000 fr. a rapporté un intérêt annuel de 320 fr. Le taux est passé en cours d’année de \(6\%\) à \(5\%\). Pendant combien de mois le capital a-t-il été placé à \(6\%\) ?

Réponse

Le capital de 6000 fr. a été placé pendant 4 mois au taux de 6 % et 8 mois au taux de 5 %, totalisant un intérêt de 320 fr.

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer pendant combien de mois le capital a été placé au taux de 6 %, puis au taux de 5 %. Suivons les étapes ci-dessous.

Données du problème

• Capital initial (\(C\)) : 6000 fr.
• Intérêt total (\(I_{total}\)) : 320 fr.
• Taux initial (\(T_1\)) : 6 %
• Taux final (\(T_2\)) : 5 %
• Durée totale (\(n\)) : 12 mois (1 an)

Objectif

Déterminer pendant combien de mois (\(m\)) le capital a été placé au taux de 6 %.

Méthode

1. Comprendre les intérêts simples : L’intérêt simple est calculé en multipliant le capital par le taux d’intérêt et par le temps (en années).

   \[ I = C \times T \times t \]

   Où :

   • \(I\) est l’intérêt
   • \(C\) est le capital initial
   • \(T\) est le taux d’intérêt (sous forme décimale)
   • \(t\) est le temps en années

2. Diviser l’année en deux périodes :

   • La première période de \(m\) mois au taux de \(6\%\) (\(T_1 = 0,06\))
   • La seconde période de \(12 - m\) mois au taux de \(5\%\) (\(T_2 = 0,05\))

3. Calculer l’intérêt pour chaque période :

   • Première période : \[ I_1 = C \times T_1 \times \left( \frac{m}{12} \right) \]

   • Seconde période : \[ I_2 = C \times T_2 \times \left( \frac{12 - m}{12} \right) \]

4. Exprimer l’intérêt total :

   \[ I_{total} = I_1 + I_2 \]

   Remplaçons par les expressions précédentes :

   \[ 320 = 6000 \times 0,06 \times \left( \frac{m}{12} \right) + 6000 \times 0,05 \times \left( \frac{12 - m}{12} \right) \]

5. Simplifier l’équation :

   \[ 320 = 6000 \times \left( 0,06 \times \frac{m}{12} + 0,05 \times \frac{12 - m}{12} \right) \]

   Simplifions les termes :

   \[ 320 = 6000 \times \left( \frac{0,06m + 0,05 \times 12 - 0,05m}{12} \right) \]

   \[ 320 = 6000 \times \left( \frac{0,06m + 0,60 - 0,05m}{12} \right) \]

   \[ 320 = 6000 \times \left( \frac{0,01m + 0,60}{12} \right) \]

6. Isoler \(m\) :

   Multipliant les deux côtés par 12 :

   \[ 320 \times 12 = 6000 \times (0,01m + 0,60) \]

   \[ 3840 = 6000 \times 0,01m + 6000 \times 0,60 \]

   \[ 3840 = 60m + 3600 \]

   Soustrayant 3600 des deux côtés :

   \[ 3840 - 3600 = 60m \]

   \[ 240 = 60m \]

   Divisant par 60 :

   \[ m = \frac{240}{60} = 4 \]

Conclusion

Le capital a été placé pendant 4 mois au taux de 6 % et les 8 mois restants au taux de 5 %.