Exercice 105
Un capital placé à \(3\,\%\) pendant 2 mois et 20 jours rapporte 7200 fr. de moins que s’il était placé à 4 \(\%\) pendant 5 mois. Quel est ce capital ?
Réponse
Le capital initial est de 720 000 francs.
Corrigé détaillé
Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer le capital initial en analysant les intérêts générés à différents taux et sur différentes périodes. Voici les étapes détaillées :
Énoncé du problème
Un capital placé à 3 % pendant 2 mois et 20 jours rapporte 7200 fr. de moins que s’il était placé à 4 % pendant 5 mois. Quel est ce capital ?
Étape 1 : Convertir les périodes en années
Les taux d’intérêt sont généralement annuels. Il est donc nécessaire de convertir les périodes données en années.
- 2 mois et 20 jours :
- Convertissons d’abord les mois en années : \[ 2 \text{ mois} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \text{ année} \]
- Supposons qu’un mois a 30 jours pour simplifier : \[ 20 \text{ jours} = \frac{20}{30} \text{ mois} = \frac{2}{3} \text{ mois} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{18} \text{ année} \]
- Total pour 2 mois et 20 jours : \[ \frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} + \frac{1}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \text{ année} \]
- 5 mois : \[ 5 \text{ mois} = \frac{5}{12} \text{ année} \]
Étape 2 : Calculer les intérêts pour chaque scénario
L’intérêt simple se calcule avec la formule : \[ I = C \times r \times t \] où : - \(I\) est l’intérêt, - \(C\) est le capital, - \(r\) est le taux annuel, - \(t\) est le temps en années.
Intérêt à 3 % pendant \(\frac{2}{9}\) année : \[ I_1 = C \times 0{,}03 \times \frac{2}{9} \] \[ I_1 = C \times \frac{0{,}06}{9} = C \times \frac{1}{150} \]
Intérêt à 4 % pendant \(\frac{5}{12}\) année : \[ I_2 = C \times 0{,}04 \times \frac{5}{12} \] \[ I_2 = C \times \frac{0{,}20}{12} = C \times \frac{1}{60} \]
Étape 3 : Établir l’équation de la différence d’intérêts
Selon l’énoncé, l’intérêt à 3 % rapporte 7200 fr. de moins que celui à 4 %. Ainsi : \[ I_2 - I_1 = 7200 \] Remplaçons \(I_1\) et \(I_2\) par leurs expressions :
\[ C \times \frac{1}{60} - C \times \frac{1}{150} = 7200 \]
Factorisons \(C\) : \[ C \left( \frac{1}{60} - \frac{1}{150} \right) = 7200 \]
Calculons la différence des fractions : \[ \frac{1}{60} - \frac{1}{150} = \frac{5}{300} - \frac{2}{300} = \frac{3}{300} = \frac{1}{100} \]
Ainsi, l’équation devient : \[ C \times \frac{1}{100} = 7200 \]
Étape 4 : Déterminer le capital \(C\)
Pour isoler \(C\), multiplions les deux côtés de l’équation par 100 : \[ C = 7200 \times 100 = 720\,000 \text{ fr.} \]
Conclusion
Le capital initial est de 720 000 fr.