On a placé \(60\,000\) fr. à \(5\%\) pendant 8 mois. Pendant combien de temps faudrait-il placer \(90\,000\) fr. à \(4\%\) pour obtenir le même intérêt ?
Il faut placer 90 000 francs à 4 % pendant environ 6 mois et 20 jours pour obtenir un intérêt de 2 000 francs.
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la formule des intérêts simples :
\[ I = P \times r \times t \]
où : - \(I\) représente l’intérêt gagné, - \(P\) est le capital initial placé, - \(r\) est le taux d’intérêt annuel (exprimé en décimal), - \(t\) est la durée du placement en années.
Étape 1 : Calcul de l’intérêt obtenu avec le premier placement
Nous avons les données suivantes pour le premier placement : - Capital initial (\(P_1\)) : 60 000 francs - Taux d’intérêt (\(r_1\)) : 5 % = 0,05 - Durée du placement (\(t_1\)) : 8 mois
Tout d’abord, convertissons la durée du placement en années : \[ t_1 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \text{ année} \]
Maintenant, calculons l’intérêt (\(I_1\)) obtenu : \[ I_1 = P_1 \times r_1 \times t_1 = 60\,000 \times 0{,}05 \times \frac{2}{3} \]
Effectuons les calculs étape par étape : \[ 60\,000 \times 0{,}05 = 3\,000 \] \[ 3\,000 \times \frac{2}{3} = 2\,000 \text{ francs} \]
Donc, l’intérêt obtenu avec le premier placement est de 2 000 francs.
Étape 2 : Détermination de la durée nécessaire pour le second placement
Nous souhaitons obtenir le même intérêt (\(I_2 = 2\,000\) francs) avec un capital différent et un taux d’intérêt différent. Voici les données du second placement : - Capital initial (\(P_2\)) : 90 000 francs - Taux d’intérêt (\(r_2\)) : 4 % = 0,04 - Durée du placement (\(t_2\)) : inconnue
Nous utilisons la formule des intérêts simples pour déterminer \(t_2\) : \[ I_2 = P_2 \times r_2 \times t_2 \] \[ 2\,000 = 90\,000 \times 0{,}04 \times t_2 \]
Résolvons pour \(t_2\) : \[ 90\,000 \times 0{,}04 = 3\,600 \] \[ 3\,600 \times t_2 = 2\,000 \] \[ t_2 = \frac{2\,000}{3\,600} = \frac{5}{9} \text{ année} \]
Étape 3 : Conversion de la durée en mois
Convertissons les années en mois : \[ \frac{5}{9} \text{ année} \times 12 \text{ mois par année} = \frac{60}{9} \approx 6{,}666 \text{ mois} \]
Cela équivaut à : \[ 6 \text{ mois et } \frac{2}{3} \text{ de mois} \approx 6 \text{ mois et } 20 \text{ jours} \]
Conclusion
Il faudrait placer 90 000 francs à 4 % pendant environ 6 mois et 20 jours pour obtenir le même intérêt de 2 000 francs que celui obtenu avec le premier placement.