Exercice 101
Sur une carte au \(1\, :\,500\,000\), la distance entre deux villes est inférieure de 8 cm à celle indiquée sur une carte au \(1\, :\,300\,000\). Quelle est la distance réelle entre ces deux villes ?
Réponse
La distance réelle entre les deux villes est de 60 kilomètres.
Corrigé détaillé
Pour déterminer la distance réelle entre les deux villes, suivons les étapes suivantes :
Étape 1 : Comprendre les échelles des cartes
Les cartes utilisent des échelles pour représenter de grandes distances sur un support réduit. Une échelle de \(1\, :\,500\,000\) signifie que 1 cm sur la carte correspond à 500 000 cm dans la réalité. De même, une échelle de \(1\, :\,300\,000\) signifie que 1 cm sur la carte correspond à 300 000 cm dans la réalité.
Étape 2 : Définir la distance réelle
Soit \(D\) la distance réelle entre les deux villes, exprimée en centimètres (cm).
Sur la carte au \(1\, :\,500\,000\), la distance entre les villes est : \[ d_1 = \frac{D}{500\,000} \]
Sur la carte au \(1\, :\,300\,000\), la distance entre les villes est : \[ d_2 = \frac{D}{300\,000} \]
Selon l’énoncé, la distance sur la première carte est inférieure de 8 cm à celle sur la seconde carte. Donc : \[ d_1 = d_2 - 8 \]
Étape 3 : Établir l’équation
En remplaçant \(d_1\) et \(d_2\) dans l’équation précédente : \[ \frac{D}{500\,000} = \frac{D}{300\,000} - 8 \]
Étape 4 : Résoudre l’équation pour \(D\)
Pour résoudre cette équation, suivons les étapes algébriques :
Isoler les termes contenant \(D\) : \[ \frac{D}{500\,000} - \frac{D}{300\,000} = -8 \]
Trouver un dénominateur commun pour les fractions :
Le dénominateur commun de \(500\,000\) et \(300\,000\) est \(1\,500\,000\).
Réécrire les fractions avec le dénominateur commun : \[ \frac{3D}{1\,500\,000} - \frac{5D}{1\,500\,000} = -8 \]
Combiner les fractions : \[ \frac{3D - 5D}{1\,500\,000} = -8 \] \[ \frac{-2D}{1\,500\,000} = -8 \]
Isoler \(D\) : \[ -2D = -8 \times 1\,500\,000 \] \[ -2D = -12\,000\,000 \] \[ D = \frac{-12\,000\,000}{-2} \] \[ D = 6\,000\,000 \text{ cm} \]
Étape 5 : Convertir la distance réelle en kilomètres
Pour une meilleure compréhension, convertissons les centimètres en kilomètres : \[ 6\,000\,000 \text{ cm} = 60\,000 \text{ mètres} = 60 \text{ kilomètres} \]
Conclusion
La distance réelle entre les deux villes est de 60 kilomètres.