Exercice 90

Question : Un cube de chêne a une arête de 8 cm et une masse de 320 g.

  1. Quelle est la masse d’un cube de chêne dont l’arête mesure \(4\,\text{cm}\) ?

  2. Quelle est la longueur de l’arête d’un cube de chêne ayant une masse de 160 g ?

Réponse

  1. La masse d’un cube de 4 cm d’arête est 40 g.
  2. La longueur de l’arête d’un cube de 160 g est exactement 4 × ∛4 cm, soit environ 6,35 cm.

Corrigé détaillé

On considère que la masse d’un cube de chêne est proportionnelle à son volume. Pour un cube, le volume se calcule à partir de la longueur de l’arête par la formule :

  Volume = (arête)³

Nous allons résoudre chacune des parties pas à pas.

────────────────────────────── 1) Calcul des volumes du cube de référence

Cube de référence : • Arête = 8 cm • Masse = 320 g

Son volume est :   V₁ = 8³ = 8 × 8 × 8 = 512 cm³

────────────────────────────── 2) Partie a) Cube de chêne avec une arête de 4 cm

Pour le cube de côté 4 cm, le volume est :   V₂ = 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 cm³

Comme la masse est proportionnelle au volume, le rapport des masses est égal au rapport des volumes. Ainsi, on a :

  Masse du petit cube / Masse du grand cube = V₂ / V₁

On connaît V₂ = 64 cm³ et V₁ = 512 cm³, donc :

  Masse du petit cube = 320 g × (64 / 512)

Calculons le rapport :   64 / 512 = 1/8  (puisque 512 = 64 × 8)

Alors :   Masse du petit cube = 320 g × 1/8 = 40 g

Réponse a) : La masse d’un cube de 4 cm d’arête est 40 g.

────────────────────────────── 3) Partie b) Cube de chêne ayant une masse de 160 g

Soit x la longueur de l’arête du cube pour lequel on connaît la masse.

Comme la masse est proportionnelle au volume, nous avons :

  (masse du cube) / (masse du cube de référence) = (volume du cube) / (volume du cube de référence)

Ici, le cube de référence a un volume de 512 cm³ et une masse de 320 g, et le cube inconnu a une masse de 160 g et un volume de x³. Ainsi :

  160 / 320 = x³ / 512

Simplifions le rapport de masses :   160 / 320 = 1/2

L’équation devient alors :   1/2 = x³ / 512

Pour trouver x³, multiplions les deux côtés par 512 :   x³ = 512 × 1/2 = 256

On cherche donc x tel que :   x³ = 256

Savoir que 256 = 2⁸ permet d’exprimer x en fonction d’une puissance de 2 :   x³ = 2⁸

Pour isoler x, on élève chaque côté à la puissance 1/3 :   x = (2⁸)^(1/3) = 2^(8/3)

On peut aussi réécrire 2^(8/3) en séparant l’exposant :   2^(8/3) = 2^(6/3 + 2/3) = 2² × 2^(2/3) = 4 × 2^(2/3)

La quantité 2^(2/3) est la même que ∛(2²) ou ∛4. Ainsi, dans une forme exacte, nous avons :

  x = 4 × ∛4  (cm)

Pour donner une valeur approchée numérique, on peut calculer ∛4. Sachant que ∛4 ≈ 1,587, on obtient :

  x ≈ 4 × 1,587 ≈ 6,35 cm

Réponse b) : La longueur de l’arête du cube ayant une masse de 160 g est exactement 4 × ∛4 cm, soit environ 6,35 cm.

────────────────────────────── Conclusion

  1. Le cube de chêne avec une arête de 4 cm a une masse de 40 g.
  2. Un cube de chêne ayant une masse de 160 g possède une arête de longueur 4 × ∛4 cm, ce qui donne environ 6,35 cm.

Ces résultats sont obtenus en observant que la masse est proportionnelle au volume des cubes, et en utilisant la formule du volume d’un cube.

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