Question : Un cube de chêne a une arête de 8 cm et une masse de 320 g.
Quelle est la masse d’un cube de chêne dont l’arête mesure \(4\,\text{cm}\) ?
Quelle est la longueur de l’arête d’un cube de chêne ayant une masse de 160 g ?
On considère que la masse d’un cube de chêne est proportionnelle à son volume. Pour un cube, le volume se calcule à partir de la longueur de l’arête par la formule :
Volume = (arête)³
Nous allons résoudre chacune des parties pas à pas.
────────────────────────────── 1) Calcul des volumes du cube de référence
Cube de référence : • Arête = 8 cm • Masse = 320 g
Son volume est : V₁ = 8³ = 8 × 8 × 8 = 512 cm³
────────────────────────────── 2) Partie a) Cube de chêne avec une arête de 4 cm
Pour le cube de côté 4 cm, le volume est : V₂ = 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 cm³
Comme la masse est proportionnelle au volume, le rapport des masses est égal au rapport des volumes. Ainsi, on a :
Masse du petit cube / Masse du grand cube = V₂ / V₁
On connaît V₂ = 64 cm³ et V₁ = 512 cm³, donc :
Masse du petit cube = 320 g × (64 / 512)
Calculons le rapport : 64 / 512 = 1/8 (puisque 512 = 64 × 8)
Alors : Masse du petit cube = 320 g × 1/8 = 40 g
Réponse a) : La masse d’un cube de 4 cm d’arête est 40 g.
────────────────────────────── 3) Partie b) Cube de chêne ayant une masse de 160 g
Soit x la longueur de l’arête du cube pour lequel on connaît la masse.
Comme la masse est proportionnelle au volume, nous avons :
(masse du cube) / (masse du cube de référence) = (volume du cube) / (volume du cube de référence)
Ici, le cube de référence a un volume de 512 cm³ et une masse de 320 g, et le cube inconnu a une masse de 160 g et un volume de x³. Ainsi :
160 / 320 = x³ / 512
Simplifions le rapport de masses : 160 / 320 = 1/2
L’équation devient alors : 1/2 = x³ / 512
Pour trouver x³, multiplions les deux côtés par 512 : x³ = 512 × 1/2 = 256
On cherche donc x tel que : x³ = 256
Savoir que 256 = 2⁸ permet d’exprimer x en fonction d’une puissance de 2 : x³ = 2⁸
Pour isoler x, on élève chaque côté à la puissance 1/3 : x = (2⁸)^(1/3) = 2^(8/3)
On peut aussi réécrire 2^(8/3) en séparant l’exposant : 2^(8/3) = 2^(6/3 + 2/3) = 2² × 2^(2/3) = 4 × 2^(2/3)
La quantité 2^(2/3) est la même que ∛(2²) ou ∛4. Ainsi, dans une forme exacte, nous avons :
x = 4 × ∛4 (cm)
Pour donner une valeur approchée numérique, on peut calculer ∛4. Sachant que ∛4 ≈ 1,587, on obtient :
x ≈ 4 × 1,587 ≈ 6,35 cm
Réponse b) : La longueur de l’arête du cube ayant une masse de 160 g est exactement 4 × ∛4 cm, soit environ 6,35 cm.
────────────────────────────── Conclusion
Ces résultats sont obtenus en observant que la masse est proportionnelle au volume des cubes, et en utilisant la formule du volume d’un cube.