Exercice 86

Question : La pyramide de la ville de Luminara a une hauteur de 120 m. Sa base est un carré dont le côté mesure 180 m.

1. Construis une maquette de cette pyramide à l’échelle $1:2500$.

2. Calcule le volume de ta maquette et celui de la pyramide de Luminara.

3. Quel est le rapport entre le volume de la pyramide de Luminara et celui de ta maquette ? Fais un pronostic, puis vérifie-le par le calcul.

Réponse

Résumé :

1. Une maquette à l’échelle 1:2500 a été construite avec une hauteur de 4,8 cm et une base de 7,2 cm.

2. Les volumes calculés sont de 1 296 000 m³ pour la pyramide réelle et 82,944 cm³ pour la maquette.

3. Le rapport des volumes est de 1 / 15 625 000 000, confirmant la réduction à l’échelle.

Corrigé détaillé

Correction :

Examinons chaque partie de l’exercice une par une.

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a) Construction d’une maquette à l’échelle $1:2500$

Étape 1 : Comprendre l’échelle

L’échelle $1:2500$ signifie que 1 unité sur la maquette correspond à 2500 unités dans la réalité.

Étape 2 : Calculer les dimensions de la maquette

1. Hauteur de la pyramide : $$\text{Hauteur réelle}=120\text{m}$$ $$\text{Hauteur de la maquette}=\frac{120}{2500}=0,048\text{m}=4,8\text{cm}$$

2. Côté de la base : $$\text{Côté réel}=180\text{m}$$ $$\text{Côté de la maquette}=\frac{180}{2500}=0,072\text{m}=7,2\text{cm}$$

Étape 3 : Réaliser la maquette

• Base : Dessiner un carré de 7,2 cm de côté.
• Hauteur : Construire une pyramide dont la hauteur est de 4,8 cm à partir de la base.

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b) Calcul du volume de la maquette et de la pyramide de Luminara

Formule du volume d’une pyramide : $$V=\frac{1}{3}\times \text{Aire de la base}\times \text{Hauteur}$$

1. Volume de la pyramide de Luminara

• Aire de la base : $$\text{Aire}=180\text{m}\times 180\text{m}=32400{\text{m}}^2$$

• Volume : $$V=\frac{1}{3}\times 32400{\text{m}}^2\times 120\text{m}=\frac{1}{3}\times 3888000{\text{m}}^3=1296000{\text{m}}^3$$

2. Volume de la maquette

• Aire de la base de la maquette : $$\text{Aire}=7,2\text{cm}\times 7,2\text{cm}=51,84{\text{cm}}^2$$

• Volume : $$V=\frac{1}{3}\times 51,84{\text{cm}}^2\times 4,8\text{cm}=\frac{1}{3}\times 248,832{\text{cm}}^3=82,944{\text{cm}}^3$$

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c) Rapport entre le volume de la pyramide de Luminara et celui de la maquette

Étape 1 : Comprendre le rapport des volumes selon l’échelle

L’échelle de réduction est $1:2500$. Pour les volumes, le facteur de réduction est le cube de l’échelle linéaire.

$$\text{Rapport des volumes}={\left(\frac{1}{2500}\right)}^3=\frac{1}{{2500}^3}=\frac{1}{15625000000}$$

Prédiction : Le volume de la maquette est $\frac{1}{15625000000}$ fois le volume réel de la pyramide de Luminara.

Étape 2 : Vérification par le calcul

1. Convertir les unités de volume de la maquette en mètres cubes : $$1{\text{cm}}^3=1\times {10}^{-6}{\text{m}}^3$$ $$V_{\text{maquette}}=82,944{\text{cm}}^3=82,944\times {10}^{-6}{\text{m}}^3=0,000082944{\text{m}}^3$$

2. Calculer le rapport réel des volumes : $$\text{Rapport}=\frac{V_{\text{réel}}}{V_{\text{maquette}}}=\frac{1296000{\text{m}}^3}{0,000082944{\text{m}}^3}=15625000000$$ $$\Rightarrow \frac{V_{\text{maquette}}}{V_{\text{réel}}}=\frac{1}{15625000000}$$

Conclusion : La prédiction est confirmée. Le volume de la maquette est bien $\frac{1}{15625000000}$ fois celui de la pyramide de Luminara.

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