Question : La pyramide de la ville de Luminara a une hauteur de 120 m. Sa base est un carré dont le côté mesure 180 m.
Construis une maquette de cette pyramide à l’échelle \(1:2500\).
Calcule le volume de ta maquette et celui de la pyramide de Luminara.
Quel est le rapport entre le volume de la pyramide de Luminara et celui de ta maquette ? Fais un pronostic, puis vérifie-le par le calcul.
Résumé :
Une maquette à l’échelle 1:2500 a été construite avec une hauteur de 4,8 cm et une base de 7,2 cm.
Les volumes calculés sont de 1 296 000 m³ pour la pyramide réelle et 82,944 cm³ pour la maquette.
Le rapport des volumes est de 1 / 15 625 000 000, confirmant la réduction à l’échelle.
Correction :
Examinons chaque partie de l’exercice une par une.
Étape 1 : Comprendre l’échelle
L’échelle \(1:2500\) signifie que 1 unité sur la maquette correspond à 2500 unités dans la réalité.
Étape 2 : Calculer les dimensions de la maquette
Hauteur de la pyramide : \[ \text{Hauteur réelle} = 120\ \text{m} \] \[ \text{Hauteur de la maquette} = \frac{120}{2500} = 0,048\ \text{m} = 4,8\ \text{cm} \]
Côté de la base : \[ \text{Côté réel} = 180\ \text{m} \] \[ \text{Côté de la maquette} = \frac{180}{2500} = 0,072\ \text{m} = 7,2\ \text{cm} \]
Étape 3 : Réaliser la maquette
Formule du volume d’une pyramide : \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur} \]
1. Volume de la pyramide de Luminara
Aire de la base : \[ \text{Aire} = 180\ \text{m} \times 180\ \text{m} = 32400\ \text{m}^2 \]
Volume : \[ V = \frac{1}{3} \times 32400\ \text{m}^2 \times 120\ \text{m} = \frac{1}{3} \times 3888000\ \text{m}^3 = 1296000\ \text{m}^3 \]
2. Volume de la maquette
Aire de la base de la maquette : \[ \text{Aire} = 7,2\ \text{cm} \times 7,2\ \text{cm} = 51,84\ \text{cm}^2 \]
Volume : \[ V = \frac{1}{3} \times 51,84\ \text{cm}^2 \times 4,8\ \text{cm} = \frac{1}{3} \times 248,832\ \text{cm}^3 = 82,944\ \text{cm}^3 \]
Étape 1 : Comprendre le rapport des volumes selon l’échelle
L’échelle de réduction est \(1:2500\). Pour les volumes, le facteur de réduction est le cube de l’échelle linéaire.
\[ \text{Rapport des volumes} = \left(\frac{1}{2500}\right)^3 = \frac{1}{2500^3} = \frac{1}{15\,625\,000\,000} \]
Prédiction : Le volume de la maquette est \(\frac{1}{15\,625\,000\,000}\) fois le volume réel de la pyramide de Luminara.
Étape 2 : Vérification par le calcul
Convertir les unités de volume de la maquette en mètres cubes : \[ 1\ \text{cm}^3 = 1 \times 10^{-6}\ \text{m}^3 \] \[ V_{\text{maquette}} = 82,944\ \text{cm}^3 = 82,944 \times 10^{-6}\ \text{m}^3 = 0,000082944\ \text{m}^3 \]
Calculer le rapport réel des volumes : \[ \text{Rapport} = \frac{V_{\text{réel}}}{V_{\text{maquette}}} = \frac{1\,296\,000\ \text{m}^3}{0,000082944\ \text{m}^3} = 15\,625\,000\,000 \] \[ \Rightarrow \frac{V_{\text{maquette}}}{V_{\text{réel}}} = \frac{1}{15\,625\,000\,000} \]
Conclusion : La prédiction est confirmée. Le volume de la maquette est bien \(\frac{1}{15\,625\,000\,000}\) fois celui de la pyramide de Luminara.