Question : Sur une route à pente constante, Alex a une avance de \(3{,}0\ \mathrm{km}\) sur Bruno, qui a une avance de \(1{,}5\ \mathrm{km}\) sur Camille. Camille se trouve à une altitude de \(500\ \mathrm{m}\) et Bruno à \(900\ \mathrm{m}\).
À quelle altitude se trouve Alex ?
L’altitude d’Alex est de 1700 m.
Correction détaillée :
Pour déterminer l’altitude d’Alex, nous allons suivre les étapes suivantes :
Notre objectif est de déterminer l’altitude d’Alex.
La route a une pente constante, ce qui signifie que l’altitude augmente de manière linéaire par rapport à la distance parcourue.
Étape 1 : Calculons la différence d’altitude entre Bruno et Camille.
\[ \Delta h = h_{\text{Bruno}} - h_{\text{Camille}} = 900\ \mathrm{m} - 500\ \mathrm{m} = 400\ \mathrm{m} \]
Étape 2 : Calculons la distance qui sépare Bruno de Camille.
\[ \Delta d = 1{,}5\ \mathrm{km} = 1500\ \mathrm{m} \]
Étape 3 : Calculons la pente \(p\) de la route, qui est le rapport de la variation d’altitude sur la variation de distance.
\[ p = \frac{\Delta h}{\Delta d} = \frac{400\ \mathrm{m}}{1500\ \mathrm{m}} = \frac{4}{15} \approx 0{,}2667 \]
Cela signifie que pour chaque mètre parcouru horizontalement, l’altitude augmente d’environ \(0{,}2667\ \mathrm{m}\).
Étape 4 : Déterminons la distance entre Alex et Camille.
Puisqu’Alex a une avance de \(3{,}0\ \mathrm{km}\) sur Bruno, et Bruno a une avance de \(1{,}5\ \mathrm{km}\) sur Camille, la distance totale entre Alex et Camille est :
\[ D = 3{,}0\ \mathrm{km} + 1{,}5\ \mathrm{km} = 4{,}5\ \mathrm{km} = 4500\ \mathrm{m} \]
Étape 5 : Calculons l’augmentation totale d’altitude de Camille à Alex en utilisant la pente \(p\).
\[ \Delta h_{\text{total}} = p \times D = 0{,}2667 \times 4500\ \mathrm{m} \approx 1200\ \mathrm{m} \]
Étape 6 : Additionnons cette augmentation à l’altitude de Camille pour obtenir l’altitude d’Alex.
\[ h_{\text{Alex}} = h_{\text{Camille}} + \Delta h_{\text{total}} = 500\ \mathrm{m} + 1200\ \mathrm{m} = 1700\ \mathrm{m} \]
L’altitude d’Alex est de \(1700\ \mathrm{m}\).