Exercice 81

Question : Complétez les tableaux suivants.

Échelle et Distance

Distance sur la carte (cm)	Échelle	Distance réelle (km)
45,6		228
	\(1 : 50\,000\)	15,3
20,4	\(1 : 200\,000\)

Le tout et la partie du tout

Complétez ce tableau selon l’exemple.

Pourcentage	Tout	Partie
\(30\,\%\)	600	180
\(40\,\%\)	300
\(50\,\%\)		250
	500	75

Réponse

Tableau complété : Échelle et Distance

Distance sur la carte (cm)	Échelle	Distance réelle (km)
45,6	1 : 500 000	228
30,6	1 : 50 000	15,3
20,4	1 : 200 000	40,8

Tableau complété : Le tout et la partie du tout

Pourcentage	Tout	Partie
30 %	600	180
40 %	300	120
50 %	500	250
15 %	500	75

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

Échelle et Distance

Pour compléter ce tableau, nous devons utiliser la relation entre la distance sur la carte, l’échelle et la distance réelle. La formule générale est :

\[ \text{Distance réelle} = \text{Distance sur la carte} \times \text{Échelle} \]

Ou en termes d’échelle \(1 : m\), cela s’écrit :

\[ \text{Distance réelle (km)} = \text{Distance sur la carte (cm)} \times m \times \frac{1}{100\,000} \]

Voyons chaque case manquante une par une.

1. Première ligne

Distance sur la carte (cm)	Échelle	Distance réelle (km)
45,6		228

Donnée connue : Distance sur la carte = 45,6 cm, Distance réelle = 228 km.

Trouvons l’échelle :

\[ \text{Échelle} = \frac{\text{Distance réelle}}{\text{Distance sur la carte}} = \frac{228\, \text{km}}{45,6\, \text{cm}} \]

Pour harmoniser les unités, on utilise que \(1\, \text{km} = 100\,000\, \text{cm}\) :

\[ \text{Échelle} = \frac{228 \times 100\,000}{45,6} = \frac{22\,800\,000}{45,6} \approx 500\,000 \]

Donc, l’échelle est \(1 : 500\,000\).

2. Deuxième ligne

Distance sur la carte (cm)	Échelle	Distance réelle (km)
	\(1 : 50\,000\)	15,3

Donnée connue : Échelle = \(1 : 50\,000\), Distance réelle = 15,3 km.

Trouvons la distance sur la carte :

\[ \text{Distance sur la carte} = \frac{\text{Distance réelle}}{\text{Échelle}} = \frac{15,3\, \text{km}}{50\,000} \]

Convertissons la distance réelle en centimètres :

\[ 15,3\, \text{km} = 15,3 \times 100\,000 = 1\,530\,000\, \text{cm} \]

Ainsi,

\[ \text{Distance sur la carte} = \frac{1\,530\,000}{50\,000} = 30,6\, \text{cm} \]

3. Troisième ligne

Distance sur la carte (cm)	Échelle	Distance réelle (km)
20,4	\(1 : 200\,000\)

Donnée connue : Distance sur la carte = 20,4 cm, Échelle = \(1 : 200\,000\).

Trouvons la distance réelle :

\[ \text{Distance réelle} = \text{Distance sur la carte} \times \text{Échelle} = 20,4 \times 200\,000 \]

\[ \text{Distance réelle} = 4\,080\,000\, \text{cm} \]

Convertissons en kilomètres :

\[ 4\,080\,000\, \text{cm} = \frac{4\,080\,000}{100\,000} = 40,8\, \text{km} \]

Tableau complété : Échelle et Distance

Distance sur la carte (cm)	Échelle	Distance réelle (km)
45,6	\(1 : 500\,000\)	228
30,6	\(1 : 50\,000\)	15,3
20,4	\(1 : 200\,000\)	40,8

Le tout et la partie du tout

Pour compléter ce tableau, nous utilisons la relation entre le pourcentage, le tout et la partie :

\[ \text{Partie} = \frac{\text{Pourcentage}}{100} \times \text{Tout} \]

Ou bien,

\[ \text{Tout} = \frac{\text{Partie} \times 100}{\text{Pourcentage}} \]

1. Deuxième ligne

Pourcentage	Tout	Partie
\(30\,\%\)	600	180
\(40\,\%\)	300
\(50\,\%\)		250
	500	75

Donnée connue : Pourcentage = \(40\,\%\), Tout = 300. Trouvons la partie.

\[ \text{Partie} = \frac{40}{100} \times 300 = 0,4 \times 300 = 120 \]

2. Troisième ligne

Donnée connue : Pourcentage = \(50\,\%\), Partie = 250. Trouvons le tout.

\[ \text{Tout} = \frac{250 \times 100}{50} = \frac{25\,000}{50} = 500 \]

3. Quatrième ligne

Donnée connue : Tout = 500, Partie = 75. Trouvons le pourcentage.

\[ \text{Pourcentage} = \frac{\text{Partie}}{\text{Tout}} \times 100 = \frac{75}{500} \times 100 = 15\,\% \]

Tableau complété : Le tout et la partie du tout

Pourcentage	Tout	Partie
\(30\,\%\)	600	180
\(40\,\%\)	300	120
\(50\,\%\)	500	250
\(15\,\%\)	500	75

Résumé des Étapes

1. Échelle et Distance :
   • Utiliser la formule \(\text{Distance réelle} = \text{Distance sur la carte} \times \text{Échelle}\).
   • Convertir les unités si nécessaire (cm en km ou vice versa).
   • Isoler la variable à trouver en manipulant l’équation.
2. Le tout et la partie du tout :
   • Appliquer \(\text{Partie} = \frac{\text{Pourcentage}}{100} \times \text{Tout}\).
   • Isoler le tout ou le pourcentage selon ce qui est donné.
   • Convertir les pourcentages en décimales en divisant par 100.

En suivant ces étapes, vous pouvez compléter les tableaux en toute confiance.