Exercice 76

Question : Complète ce tableau.

Distance sur la carte (cm)	Échelle	Distance réelle (km)
50,8		254
	\(1 : 80\,000\)	16,0
25,4	\(1 : 200\,000\)

Réponse

Voici le tableau complété :

Distance sur la carte (cm)	Échelle	Distance réelle (km)
50,8 cm	1 : 500 000	254 km
20,0 cm	1 : 80 000	16,0 km
25,4 cm	1 : 200 000	50,8 km

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Pour compléter le tableau, nous allons utiliser la relation fondamentale entre la distance sur la carte (\(d_c\)), l’échelle (\(E\)) et la distance réelle (\(d_r\)) :

\[ d_r = d_c \times E \]

Cependant, il est essentiel de prendre en compte les unités utilisées. Ici, la distance sur la carte est en centimètres (cm) et la distance réelle en kilomètres (km). Sachant que \(1 \, \text{km} = 100\,000 \, \text{cm}\), nous devons effectuer des conversions appropriées pour assurer la cohérence des unités.

1. Première ligne : Déterminer l’échelle

Données : - Distance sur la carte (\(d_c\)) = 50,8 cm - Distance réelle (\(d_r\)) = 254 km

Étapes :

1. Convertir la distance réelle en centimètres :

   \[ 254 \, \text{km} = 254 \times 100\,000 \, \text{cm} = 25\,400\,000 \, \text{cm} \]

2. Utiliser la formule pour trouver l’échelle \(E\) :

   \[ E = \frac{d_r}{d_c} = \frac{25\,400\,000 \, \text{cm}}{50,8 \, \text{cm}} = 500\,000 \]

3. Exprimer l’échelle sous la forme \(1 : E\) :

   \[ \text{Échelle} = 1 : 500\,000 \]

2. Deuxième ligne : Déterminer la distance sur la carte

Données : - Échelle (\(E\)) = \(1 : 80\,000\) - Distance réelle (\(d_r\)) = 16,0 km

Étapes :

1. Convertir la distance réelle en centimètres :

   \[ 16,0 \, \text{km} = 16,0 \times 100\,000 \, \text{cm} = 1\,600\,000 \, \text{cm} \]

2. Utiliser la formule pour trouver la distance sur la carte \(d_c\) :

   \[ d_c = \frac{d_r}{E} = \frac{1\,600\,000 \, \text{cm}}{80\,000} = 20 \, \text{cm} \]

3. Troisième ligne : Déterminer la distance réelle

Données : - Distance sur la carte (\(d_c\)) = 25,4 cm - Échelle (\(E\)) = \(1 : 200\,000\)

Étapes :

1. Utiliser la formule pour trouver la distance réelle \(d_r\) :

   \[ d_r = d_c \times E = 25,4 \, \text{cm} \times 200\,000 = 5\,080\,000 \, \text{cm} \]

2. Convertir la distance réelle en kilomètres :

   \[ 5\,080\,000 \, \text{cm} = \frac{5\,080\,000}{100\,000} \, \text{km} = 50,8 \, \text{km} \]

Tableau complété

Distance sur la carte (cm)	Échelle	Distance réelle (km)
50,8	\(1 : 500\,000\)	254
20,0	\(1 : 80\,000\)	16,0
25,4	\(1 : 200\,000\)	50,8

Résumé des calculs

1. Échelle de la première ligne : \[ E = \frac{254 \, \text{km} \times 100\,000 \, \text{cm/km}}{50,8 \, \text{cm}} = 1 : 500\,000 \]

2. Distance sur la carte de la deuxième ligne : \[ d_c = \frac{16,0 \, \text{km} \times 100\,000 \, \text{cm/km}}{80\,000} = 20,0 \, \text{cm} \]

3. Distance réelle de la troisième ligne : \[ d_r = 25,4 \, \text{cm} \times 200\,000 = 5\,080\,000 \, \text{cm} = 50,8 \, \text{km} \]

Ainsi, en suivant ces étapes, le tableau est complété correctement avec les valeurs manquantes déterminées.