Exercice 74

Question :

Deux cyclistes s’entraînent sur une piste de 15 km. Le premier roule à une vitesse moyenne de \(30\,\mathrm{km/h}\). Le second, parti 10 minutes après, roule à une vitesse moyenne de \(35\,\mathrm{km/h}\).

Combien de temps faudra-t-il au second cycliste pour rattraper le premier ?

Réponse

Il faudra 1 heure au second cycliste pour rattraper le premier.

Corrigé détaillé

Correction :

Pour déterminer le temps qu’il faudra au second cycliste pour rattraper le premier, suivons les étapes suivantes :

  1. Définir les données du problème :

    • Vitesse du premier cycliste (\(v_1\)) : \(30\,\mathrm{km/h}\)
    • Vitesse du second cycliste (\(v_2\)) : \(35\,\mathrm{km/h}\)
    • Délai de départ du second cycliste (\(\Delta t\)) : \(10\,\mathrm{minutes} = \frac{10}{60}\,\mathrm{heures} = \frac{1}{6}\,\mathrm{heures}\)
  2. Calculer la distance parcourue par le premier cycliste pendant le délai de départ :

    Pendant les \(10\) minutes avant que le second cycliste ne parte, le premier cycliste continue de rouler à sa vitesse. La distance parcourue pendant ce temps est donnée par la formule :

    \[ d = v_1 \times \Delta t = 30\,\mathrm{km/h} \times \frac{1}{6}\,\mathrm{heures} = 5\,\mathrm{km} \]

    Distance initiale entre les deux cyclistes : \(5\,\mathrm{km}\)

  3. Déterminer la vitesse relative entre les deux cyclistes :

    La vitesse relative correspond à la différence des vitesses des deux cyclistes, car le second cycliste rattrape le premier.

    \[ v_{\text{relative}} = v_2 - v_1 = 35\,\mathrm{km/h} - 30\,\mathrm{km/h} = 5\,\mathrm{km/h} \]

  4. Calculer le temps nécessaire pour rattraper la distance initiale :

    Le temps nécessaire pour combler la distance de \(5\,\mathrm{km}\) avec une vitesse relative de \(5\,\mathrm{km/h}\) est donné par :

    \[ t = \frac{d}{v_{\text{relative}}} = \frac{5\,\mathrm{km}}{5\,\mathrm{km/h}} = 1\,\mathrm{heure} \]

  5. Conclusion :

    Il faudra donc 1 heure au second cycliste pour rattraper le premier cycliste.

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