Question :
Deux cyclistes s’entraînent sur une piste de 15 km. Le premier roule à une vitesse moyenne de \(30\,\mathrm{km/h}\). Le second, parti 10 minutes après, roule à une vitesse moyenne de \(35\,\mathrm{km/h}\).
Combien de temps faudra-t-il au second cycliste pour rattraper le premier ?
Il faudra 1 heure au second cycliste pour rattraper le premier.
Correction :
Pour déterminer le temps qu’il faudra au second cycliste pour rattraper le premier, suivons les étapes suivantes :
Définir les données du problème :
Calculer la distance parcourue par le premier cycliste pendant le délai de départ :
Pendant les \(10\) minutes avant que le second cycliste ne parte, le premier cycliste continue de rouler à sa vitesse. La distance parcourue pendant ce temps est donnée par la formule :
\[ d = v_1 \times \Delta t = 30\,\mathrm{km/h} \times \frac{1}{6}\,\mathrm{heures} = 5\,\mathrm{km} \]
Distance initiale entre les deux cyclistes : \(5\,\mathrm{km}\)
Déterminer la vitesse relative entre les deux cyclistes :
La vitesse relative correspond à la différence des vitesses des deux cyclistes, car le second cycliste rattrape le premier.
\[ v_{\text{relative}} = v_2 - v_1 = 35\,\mathrm{km/h} - 30\,\mathrm{km/h} = 5\,\mathrm{km/h} \]
Calculer le temps nécessaire pour rattraper la distance initiale :
Le temps nécessaire pour combler la distance de \(5\,\mathrm{km}\) avec une vitesse relative de \(5\,\mathrm{km/h}\) est donné par :
\[ t = \frac{d}{v_{\text{relative}}} = \frac{5\,\mathrm{km}}{5\,\mathrm{km/h}} = 1\,\mathrm{heure} \]
Conclusion :
Il faudra donc 1 heure au second cycliste pour rattraper le premier cycliste.