Question : Dans le parc d’attractions des Alpes françaises, une nouvelle grande roue possède les caractéristiques suivantes :
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Capacité | 600 personnes / rotation |
| Durée d’une rotation | 30 minutes |
| Rayon | \(40 \, \text{m}\) |
| Hauteur maximale atteinte | 80 m |
| Nombre de cabines | 20 |
| Nombre de sièges par cabine | 30 |
À partir de ces informations, répondez aux questions suivantes :
Quelle est la circonférence de la grande roue ?
Si l’attraction fonctionne de 10 h à 22 h, combien de rotations peut-elle effectuer ?
Sur une carte à l’échelle 1:50000, quelle serait la longueur (en cm) de la circonférence de la grande roue ?
À pied et à la vitesse de marche d’un humain (\(5 \, \text{km/h}\)), combien de temps mettrait-tu pour parcourir la circonférence réelle de la roue ?
Quelle est approximativement la distance entre deux cabines adjacentes ?
Si le sol se trouve à 150 m d’altitude, à quelle altitude la cabine la plus élevée atteint-elle ?
Cette grande roue a remplacé une vieille roue avec une capacité de 400 personnes par rotation. Combien de personnes pouvaient être transportées de 10 h à 22 h avec l’ancienne roue ?
Exprime, en pourcentage, l’augmentation de la capacité en nombre de personnes par rotation entre l’ancienne et la nouvelle installation.
Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape.
────────────────────────────── Question a) Déterminer la circonférence de la grande roue.
• Rappel : Pour un cercle, la circonférence C est donnée par la formule
C = 2 × π × rayon.
• On connaît le rayon, qui vaut 40 m.
C = 2 × π × 40 = 80π
• On peut, si l’on souhaite donner une valeur approchée, utiliser π ≈ 3,14.
80π ≈ 80 × 3,14 = 251,2 m
Ainsi, la circonférence est 80π m, soit environ 251,2 m.
────────────────────────────── Question b) Calculer le nombre de rotations effectuées si l’attraction fonctionne de 10 h à 22 h.
• La durée de fonctionnement est de 22 h – 10 h = 12 heures.
• Une rotation dure 30 minutes, c’est-à-dire 0,5 heure.
• Le nombre de rotations se calcule par :
Nombre de rotations = durée totale ÷ durée d’une rotation
Nombre de rotations = 12 h ÷ 0,5 h = 24
Donc, la grande roue effectue 24 rotations.
────────────────────────────── Question c) Sur une carte à l’échelle 1 : 50000, déterminer la longueur (en cm) de la circonférence de la grande roue.
• Sur une carte à l’échelle 1 : 50000, 1 unité sur la carte correspond à 50000 unités dans la réalité.
• Ici, nous avons calculé la circonférence réelle : 80π m ≈ 251,2 m. Convertissons cette longueur en centimètres :
1 m = 100 cm, donc 251,2 m = 25120 cm.
• La longueur sur la carte se calcule en divisant la longueur réelle (en cm) par le dénominateur de l’échelle :
Longueur sur la carte = 25120 cm ÷ 50000 ≈ 0,5024 cm.
On peut arrondir à 0,50 cm.
────────────────────────────── Question d) Déterminer le temps nécessaire pour parcourir, à pied et à la vitesse de marche d’un humain (5 km/h), la circonférence réelle de la roue.
• La vitesse de marche est de 5 km/h.
• La circonférence réelle est de 80π m. Pour travailler avec les kilomètres, convertissons cette distance :
80π m ≈ 251,2 m
1 km = 1000 m donc 251,2 m = 0,2512 km.
• Le temps, en heures, est donné par :
Temps = distance / vitesse
Temps = 0,2512 km ÷ 5 km/h ≈ 0,05024 h
• Pour convertir en minutes, multiplions par 60 :
0,05024 h × 60 ≈ 3,014 minutes
On peut arrondir à environ 3 minutes.
────────────────────────────── Question e) Déterminer la distance entre deux cabines adjacentes.
• Il y a 20 cabines disposées uniformément sur la circonférence.
• La distance entre deux cabines est donc la longueur de l’arc correspondant à un 20ème de la circonférence.
• On a :
Distance = circonférence ÷ 20 = (80π m) ÷ 20 = 4π m
• En utilisant π ≈ 3,14 :
4π ≈ 4 × 3,14 = 12,56 m
La distance entre deux cabines adjacentes est donc d’environ 12,56 m.
────────────────────────────── Question f) Calculer l’altitude atteinte par la cabine la plus élevée si le sol se trouve à 150 m d’altitude.
• La donnée « hauteur maximale atteinte : 80 m » signifie que la cabine la plus haute se trouve à 80 m au-dessus du sol.
• Or, le sol est à 150 m d’altitude.
Altitude de la cabine = altitude du sol + hauteur maximale
Altitude de la cabine = 150 m + 80 m = 230 m
Ainsi, la cabine la plus élevée atteint une altitude de 230 m.
────────────────────────────── Question g) Calculer le nombre de personnes transportées de 10 h à 22 h avec l’ancienne roue (capacité de 400 personnes par rotation).
• En reprenant la durée totale de fonctionnement qui est de 12 heures et le fait que chaque rotation dure 30 minutes, nous trouvons que la roue effectue 24 rotations (voir question b).
• Pour l’ancienne roue :
Nombre total de personnes = capacité par rotation × nombre de rotations
Nombre total de personnes = 400 × 24 = 9600
L’ancienne roue transportait donc 9600 personnes.
────────────────────────────── Question h) Exprimer en pourcentage l’augmentation de la capacité par rotation entre l’ancienne roue et la nouvelle.
• Ancienne capacité par rotation = 400 personnes
Nouvelle capacité par rotation = 600 personnes
• L’augmentation en nombre de personnes = 600 – 400 = 200
• Pour obtenir le pourcentage d’augmentation, on utilise la formule :
Pourcentage d’augmentation = (augmentation ÷ capacité initiale) × 100
Pourcentage d’augmentation = (200 ÷ 400) × 100 = 50 %
Donc, la capacité par rotation a augmenté de 50 %.
────────────────────────────── Récapitulatif :