Question : Léa et Marc sont à mi-parcours d’une randonnée. Leur vitesse moyenne jusqu’à présent est de \(5\ \mathrm{km/h}\). Léa souhaite augmenter leur vitesse moyenne à \(10\ \mathrm{km/h}\) sur l’ensemble de la randonnée. À quelle vitesse doivent-ils marcher sur la deuxième moitié du parcours ?
Il est impossible pour Léa et Marc d’atteindre une vitesse moyenne de 10 km/h en ne modifiant que leur vitesse sur la deuxième moitié de la randonnée.
Correction détaillée :
Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer à quelle vitesse Léa et Marc doivent marcher sur la deuxième moitié de leur randonnée afin d’augmenter leur vitesse moyenne globale de \(5\ \mathrm{km/h}\) à \(10\ \mathrm{km/h}\). Suivons les étapes ci-dessous :
La formule pour le temps (\(t\)) est donnée par : \[ t = \frac{\text{distance}}{\text{vitesse}} \] Ainsi, le temps pris pour parcourir la première moitié est : \[ t_{\text{première moitié}} = \frac{\frac{D}{2}}{5} = \frac{D}{10}\ \text{heures} \]
Avec une vitesse moyenne souhaitée de \(10\ \mathrm{km/h}\) sur l’ensemble du parcours, le temps total souhaité (\(t_{\text{total souhaité}}\)) est : \[ t_{\text{total souhaité}} = \frac{D}{10}\ \text{heures} \]
Le temps restant pour parcourir la deuxième moitié est : \[ t_{\text{restant}} = t_{\text{total souhaité}} - t_{\text{première moitié}} = \frac{D}{10} - \frac{D}{10} = 0\ \text{heures} \]
Nous savons que : \[ \text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}} \] Pour trouver la vitesse nécessaire (\(V_{\text{nécessaire}}\)) pour parcourir la deuxième moitié (\(\frac{D}{2}\) kilomètres) en \(0\) heure, nous avons : \[ V_{\text{nécessaire}} = \frac{\frac{D}{2}}{0} \] Cependant, diviser par zéro est impossible en mathématiques. Cela signifie qu’il n’existe aucune vitesse finie à laquelle ils pourraient marcher la deuxième moitié du parcours pour atteindre une vitesse moyenne globale de \(10\ \mathrm{km/h}\).
Il est impossible pour Léa et Marc d’augmenter leur vitesse moyenne globale de \(5\ \mathrm{km/h}\) à \(10\ \mathrm{km/h}\) en ne modifiant que leur vitesse sur la deuxième moitié du parcours. Pour atteindre une telle augmentation de la vitesse moyenne, ils devraient parcourir la deuxième moitié du trajet instantanément, ce qui est irréaliste.