Exercice 67

Question : Léa et Marc sont à mi-parcours d’une randonnée. Leur vitesse moyenne jusqu’à présent est de \(5\ \mathrm{km/h}\). Léa souhaite augmenter leur vitesse moyenne à \(10\ \mathrm{km/h}\) sur l’ensemble de la randonnée. À quelle vitesse doivent-ils marcher sur la deuxième moitié du parcours ?

Réponse

Il est impossible pour Léa et Marc d’atteindre une vitesse moyenne de 10 km/h en ne modifiant que leur vitesse sur la deuxième moitié de la randonnée.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer à quelle vitesse Léa et Marc doivent marcher sur la deuxième moitié de leur randonnée afin d’augmenter leur vitesse moyenne globale de \(5\ \mathrm{km/h}\) à \(10\ \mathrm{km/h}\). Suivons les étapes ci-dessous :

1. Comprendre les informations données

• Vitesse moyenne initiale (\(V_{\text{initiale}}\)) : \(5\ \mathrm{km/h}\)
• Vitesse moyenne souhaitée (\(V_{\text{souhaitée}}\)) : \(10\ \mathrm{km/h}\)
• Parcours total : Supposons que la distance totale de la randonnée soit \(D\) kilomètres.
• Distance parcourue jusqu’à présent : La moitié du parcours, soit \(\frac{D}{2}\) kilomètres.

2. Calculer le temps pris pour la première moitié

La formule pour le temps (\(t\)) est donnée par : \[ t = \frac{\text{distance}}{\text{vitesse}} \] Ainsi, le temps pris pour parcourir la première moitié est : \[ t_{\text{première moitié}} = \frac{\frac{D}{2}}{5} = \frac{D}{10}\ \text{heures} \]

3. Déterminer le temps total souhaité pour la randonnée

Avec une vitesse moyenne souhaitée de \(10\ \mathrm{km/h}\) sur l’ensemble du parcours, le temps total souhaité (\(t_{\text{total souhaité}}\)) est : \[ t_{\text{total souhaité}} = \frac{D}{10}\ \text{heures} \]

4. Calculer le temps restant pour la deuxième moitié

Le temps restant pour parcourir la deuxième moitié est : \[ t_{\text{restant}} = t_{\text{total souhaité}} - t_{\text{première moitié}} = \frac{D}{10} - \frac{D}{10} = 0\ \text{heures} \]

5. Déterminer la vitesse nécessaire pour la deuxième moitié

Nous savons que : \[ \text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}} \] Pour trouver la vitesse nécessaire (\(V_{\text{nécessaire}}\)) pour parcourir la deuxième moitié (\(\frac{D}{2}\) kilomètres) en \(0\) heure, nous avons : \[ V_{\text{nécessaire}} = \frac{\frac{D}{2}}{0} \] Cependant, diviser par zéro est impossible en mathématiques. Cela signifie qu’il n’existe aucune vitesse finie à laquelle ils pourraient marcher la deuxième moitié du parcours pour atteindre une vitesse moyenne globale de \(10\ \mathrm{km/h}\).

6. Conclusion

Il est impossible pour Léa et Marc d’augmenter leur vitesse moyenne globale de \(5\ \mathrm{km/h}\) à \(10\ \mathrm{km/h}\) en ne modifiant que leur vitesse sur la deuxième moitié du parcours. Pour atteindre une telle augmentation de la vitesse moyenne, ils devraient parcourir la deuxième moitié du trajet instantanément, ce qui est irréaliste.