Exercice 57

Des ingénieurs ont construit une maquette au \(1/3000\) d’un barrage. La maquette mesure \(2{,}40\,\mathrm{m}\) de long et contient 8 L d’eau. La surface du réservoir est de \(90\,\mathrm{dm}^{2}\). Quelle sera, en kilomètres, la longueur du futur barrage ? Quelle sera, en \(\mathrm{km}^{2}\), sa surface ? Quel sera, en \(\mathrm{m}^{3}\), le volume d’eau contenu dans le barrage ?

Réponse

Longueur du barrage : 7,2 km
Surface du réservoir : 8,1 km²
Volume d’eau contenu : 216 000 000 m³

Corrigé détaillé

Nous allons utiliser le fait que la maquette est réalisée à l’échelle 1/3000 pour déterminer, à partir des mesures de la maquette, les dimensions réelles du barrage.

────────────────────────────── 1. Longueur du barrage

La maquette mesure 2,40 m. L’échelle 1/3000 signifie que 1 m dans la maquette correspond à 3000 m dans la réalité. Pour trouver la longueur réelle, on multiplie donc la longueur mesurée par 3000.

  Longueur réelle = 2,40 m × 3000 = 7200 m

Pour obtenir la longueur en kilomètres, on se souvient que 1 km = 1000 m.

  Longueur en km = 7200 m ÷ 1000 = 7,2 km

────────────────────────────── 2. Surface du réservoir

La surface donnée de la maquette est de 90 dm². Rappelons que 1 dm² = 0,01 m². Convertissons d’abord en mètres carrés :

  Surface en m² = 90 dm² × 0,01 = 0,9 m²

La transformation d’une surface réelle se fait en multipliant la surface de la maquette par le carré du dénominateur de l’échelle. Ici, (3000)² = 9 000 000.

  Surface réelle en m² = 0,9 m² × 9 000 000 = 8 100 000 m²

Ensuite, pour convertir en kilomètres carrés, sachant que 1 km² = 1 000 000 m² :

  Surface en km² = 8 100 000 m² ÷ 1 000 000 = 8,1 km²

────────────────────────────── 3. Volume d’eau contenu dans le barrage

La maquette contient 8 L d’eau. Sachant que 1 L = 0,001 m³, on convertit ce volume en mètres cubes :

  Volume de la maquette = 8 L × 0,001 = 0,008 m³

Le volume se transforme avec le cube de l’échelle. Ainsi, le facteur de conversion est (3000)³. Calculons-le :

  (3000)³ = 3000 × 3000 × 3000 = 27 000 000 000

On trouve alors le volume réel en multipliant :

  Volume réel = 0,008 m³ × 27 000 000 000 = 216 000 000 m³

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

• Longueur du barrage : 7,2 km
• Surface du réservoir : 8,1 km²
• Volume d’eau contenu dans le barrage : 216 000 000 m³

Chaque étape s’appuie sur la conversion des unités et l’application correcte des rapports d’échelle (multiplication par 3000 pour les longueurs, par 3000² pour les surfaces et par 3000³ pour les volumes).

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