Des ingénieurs ont construit une maquette au \(1/3000\) d’un barrage. La maquette mesure \(2{,}40\,\mathrm{m}\) de long et contient 8 L d’eau. La surface du réservoir est de \(90\,\mathrm{dm}^{2}\). Quelle sera, en kilomètres, la longueur du futur barrage ? Quelle sera, en \(\mathrm{km}^{2}\), sa surface ? Quel sera, en \(\mathrm{m}^{3}\), le volume d’eau contenu dans le barrage ?
Longueur du barrage : 7,2 km
Surface du réservoir : 8,1 km²
Volume d’eau contenu : 216 000 000 m³
Nous allons utiliser le fait que la maquette est réalisée à l’échelle 1/3000 pour déterminer, à partir des mesures de la maquette, les dimensions réelles du barrage.
────────────────────────────── 1. Longueur du barrage
La maquette mesure 2,40 m. L’échelle 1/3000 signifie que 1 m dans la maquette correspond à 3000 m dans la réalité. Pour trouver la longueur réelle, on multiplie donc la longueur mesurée par 3000.
Longueur réelle = 2,40 m × 3000 = 7200 m
Pour obtenir la longueur en kilomètres, on se souvient que 1 km = 1000 m.
Longueur en km = 7200 m ÷ 1000 = 7,2 km
────────────────────────────── 2. Surface du réservoir
La surface donnée de la maquette est de 90 dm². Rappelons que 1 dm² = 0,01 m². Convertissons d’abord en mètres carrés :
Surface en m² = 90 dm² × 0,01 = 0,9 m²
La transformation d’une surface réelle se fait en multipliant la surface de la maquette par le carré du dénominateur de l’échelle. Ici, (3000)² = 9 000 000.
Surface réelle en m² = 0,9 m² × 9 000 000 = 8 100 000 m²
Ensuite, pour convertir en kilomètres carrés, sachant que 1 km² = 1 000 000 m² :
Surface en km² = 8 100 000 m² ÷ 1 000 000 = 8,1 km²
────────────────────────────── 3. Volume d’eau contenu dans le barrage
La maquette contient 8 L d’eau. Sachant que 1 L = 0,001 m³, on convertit ce volume en mètres cubes :
Volume de la maquette = 8 L × 0,001 = 0,008 m³
Le volume se transforme avec le cube de l’échelle. Ainsi, le facteur de conversion est (3000)³. Calculons-le :
(3000)³ = 3000 × 3000 × 3000 = 27 000 000 000
On trouve alors le volume réel en multipliant :
Volume réel = 0,008 m³ × 27 000 000 000 = 216 000 000 m³
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
• Longueur du barrage : 7,2 km
• Surface du réservoir : 8,1 km²
• Volume d’eau contenu dans le barrage : 216 000 000 m³
Chaque étape s’appuie sur la conversion des unités et l’application correcte des rapports d’échelle (multiplication par 3000 pour les longueurs, par 3000² pour les surfaces et par 3000³ pour les volumes).