Question : LMNOP est une pyramide régulière carrée, une réduction de rapport \(\frac{1}{800}\) de la pyramide de Khéops en Égypte, ayant une base de \(\mathrm{OP} = 10\,\mathrm{cm}\) et \(\mathrm{LM} = 18\,\mathrm{cm}\).
Quelles sont les dimensions en mètres de la pyramide de Khéops ?
Calcule l’aire de LMNOP et le volume de LMNOP.
Calcule l’aire de la base et le volume de la pyramide de Khéops en utilisant le rapport d’agrandissement.
Réponses :
La pyramide de Khéops a une base de 80 m et une arête latérale de 144 m.
L’aire de LMNOP est d’environ 431 cm² et son volume est d’environ 551,67 cm³.
L’aire de la base de la pyramide de Khéops est de 64 m² et son volume est d’environ 2 822,70 m³.
Correction :
Nous allons résoudre chaque partie de la question étape par étape.
Étape 1 : Comprendre l’échelle de réduction
La pyramide LMNOP est une réduction de rapport \(\frac{1}{800}\) de la pyramide de Khéops. Cela signifie que chaque dimension de la pyramide de Khéops est 800 fois plus grande que celle de LMNOP.
Étape 2 : Convertir les dimensions de LMNOP
Les dimensions données pour LMNOP sont : - Base \(\mathrm{OP} = 10\,\mathrm{cm}\) - Arête latérale \(\mathrm{LM} = 18\,\mathrm{cm}\)
Étape 3 : Calculer les dimensions de la pyramide de Khéops
Pour trouver les dimensions de la pyramide de Khéops, multiplions chaque dimension de LMNOP par 800.
Base de Khéops : \[ \mathrm{OP_{Khéops}} = 10\,\mathrm{cm} \times 800 = 8000\,\mathrm{cm} \] Convertissons en mètres : \[ 8000\,\mathrm{cm} = 80\,\mathrm{m} \]
Arête latérale de Khéops : \[ \mathrm{LM_{Khéops}} = 18\,\mathrm{cm} \times 800 = 14400\,\mathrm{cm} \] Convertissons en mètres : \[ 14400\,\mathrm{cm} = 144\,\mathrm{m} \]
Réponse : Les dimensions de la pyramide de Khéops sont : - Base \(\mathrm{OP} = 80\,\mathrm{m}\) - Arête latérale \(\mathrm{LM} = 144\,\mathrm{m}\)
Étape 1 : Calcul de l’aire de la base de LMNOP
La base de LMNOP est un carré de côté \(\mathrm{OP} = 10\,\mathrm{cm}\).
\[ \text{Aire de la base} = \mathrm{OP}^2 = (10\,\mathrm{cm})^2 = 100\,\mathrm{cm}^2 \]
Étape 2 : Calcul de l’aire totale de LMNOP
L’aire totale comprend l’aire de la base et l’aire des 4 faces triangulaires.
Pour une pyramide carrée régulière : \[ \text{Aire totale} = \text{Aire de la base} + 2 \times \mathrm{OP} \times \mathrm{h} \] où \(\mathrm{h}\) est la hauteur de la pyramide.
Cependant, nous n’avons pas la hauteur \(\mathrm{h}\). Nous pouvons utiliser l’arête latérale \(\mathrm{LM}\) pour la trouver.
Étape 3 : Calcul de la hauteur de LMNOP
Dans une pyramide carrée régulière, la hauteur peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle formé par la hauteur de la pyramide, la demi-diagonale de la base et l’arête latérale.
La demi-diagonale de la base : \[ d = \frac{\mathrm{OP} \sqrt{2}}{2} = \frac{10 \times \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\,\mathrm{cm} \]
Appliquons le théorème de Pythagore : \[ \mathrm{LM}^2 = \mathrm{h}^2 + d^2 \] \[ 18^2 = \mathrm{h}^2 + (5\sqrt{2})^2 \] \[ 324 = \mathrm{h}^2 + 50 \] \[ \mathrm{h}^2 = 324 - 50 = 274 \] \[ \mathrm{h} = \sqrt{274} \approx 16,55\,\mathrm{cm} \]
Étape 4 : Calcul de l’aire totale de LMNOP
\[ \text{Aire totale} = 100 + 2 \times 10 \times 16,55 \approx 100 + 331 = 431\,\mathrm{cm}^2 \]
Étape 5 : Calcul du volume de LMNOP
Le volume \(V\) d’une pyramide est donné par : \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \mathrm{h} \] \[ V = \frac{1}{3} \times 100 \times 16,55 \approx \frac{1}{3} \times 1655 = 551,67\,\mathrm{cm}^3 \]
Réponse : - Aire de LMNOP \(\approx 431\,\mathrm{cm}^2\) - Volume de LMNOP \(\approx 551,67\,\mathrm{cm}^3\)
Étape 1 : Comprendre le rapport d’agrandissement
Le rapport de réduction est \(\frac{1}{800}\), donc le rapport d’agrandissement est \(800\).
Étape 2 : Calcul de l’aire de la base de la pyramide de Khéops
L’aire de la base de LMNOP est de \(100\,\mathrm{cm}^2\). Pour passer à l’aire de la base de Khéops, nous multiplions par le carré du ratio d’agrandissement.
\[ \text{Aire}_{\text{Khéops}} = \text{Aire}_{\text{LMNOP}} \times (800)^2 = 100 \times 640000 = 64\,000\,000\,\mathrm{cm}^2 \] Convertissons en mètres carrés : \[ 64\,000\,000\,\mathrm{cm}^2 = 64\,\mathrm{m}^2 \]
Étape 3 : Calcul du volume de la pyramide de Khéops
Le volume de LMNOP est de \(551,67\,\mathrm{cm}^3\). Le volume de la pyramide de Khéops se calcule en multipliant par le cube du ratio d’agrandissement.
\[ \text{Volume}_{\text{Khéops}} = \text{Volume}_{\text{LMNOP}} \times (800)^3 = 551,67 \times 512\,000\,000 \approx 2,822,702,400,000\,\mathrm{cm}^3 \] Convertissons en mètres cubes : \[ 2\,822\,702\,400\,000\,\mathrm{cm}^3 = 2\,822,7024\,\mathrm{m}^3 \]
Réponse : - Aire de la base de la pyramide de Khéops \(= 64\,\mathrm{m}^2\) - Volume de la pyramide de Khéops \(\approx 2\,822,70\,\mathrm{m}^3\)