Exercice
Sophie, Julien et Clara participent à un concours de dessin. Sophie obtient 4 fois plus de points que Clara et 3 fois plus de points que Julien.
Quel est le ratio des points obtenus par les trois participantes ?
À la fin du concours, elles ont accumulé 5600 points. Combien de points chaque participante a-t-elle obtenu ?
| Année | 2010 | 2015 | 2021 |
|---|---|---|---|
| Nombre de ménages (en milliers) | 2500 | 3200 | 4100 |
| Indice | 100 | 128 | 164 |
À l’aide du tableau de proportionnalité, calcule l’indice du nombre de ménages en 2015 sur la base 100 en 2010.
Calcule le pourcentage d’augmentation du nombre de ménages en 2015 par rapport à 2010.
L’indice du nombre de ménages en 2021 sur la base 100 en 2010 était de 164. Estime le nombre de ménages en 2021.
Des projections estiment que l’indice du nombre de ménages en 2030 sur la base 100 en 2015 serait de 200. Quel serait le pourcentage d’augmentation du nombre de ménages en 2030 par rapport à 2015 ?
Donne une estimation du nombre de ménages en 2030.
PARTIE 1 – Concours de dessin : a) Le ratio est 12 : 4 : 3. b) En posant k = 5600/19, on a : Sophie = 67200/19 points (≈3536,84), Julien = 22400/19 points (≈1178,95), Clara = 16800/19 points (≈884,21).
PARTIE 2 – Données des ménages : a) L’indice en 2015 est 128. b) L’augmentation de 2010 à 2015 est de 28 %. c) Il y avait 4100 ménages en 2021 (en milliers). d) L’augmentation de 2015 à 2030 est de 100 %. e) On estime 6400 ménages (en milliers) en 2030.
Nous allons traiter chacune des deux parties de l’exercice en détaillant toutes les étapes et en expliquant la démarche de façon claire.
────────────────────────────── PARTIE 1 – CONCOURS DE DESSIN
On vous indique que Sophie, Julien et Clara participent à un concours de dessin avec les informations suivantes :
• Sophie obtient 4 fois plus de points que Clara. • Sophie obtient 3 fois plus de points que Julien.
Pour bien organiser l’information, nous allons utiliser des variables.
D’après l’énoncé, Sophie a 4 fois plus de points que Clara, donc : S = 4 × C.
Mais comme S = 4 × C, on peut écrire : J = (4 × C) / 3.
Pour obtenir des nombres entiers dans le ratio, on peut multiplier chaque terme par 3 (pour éliminer la fraction) : Sophie = 4×C × 3 = 12×C, Julien = (4×C/3) × 3 = 4×C, Clara = C × 3 = 3×C.
Ainsi, le ratio devient : 12 : 4 : 3.
────────────────────────────── Question 1.a) Le ratio des points obtenus par Sophie, Julien et Clara est 12 : 4 : 3.
────────────────────────────── Question 1.b) On nous dit que la somme totale des points des trois participantes est de 5600 points. Nous allons utiliser le ratio pour déterminer chacun des scores.
On note k le facteur multiplicatif du ratio. Ainsi, on écrit : Sophie = 12k, Julien = 4k, Clara = 3k.
Leur somme est : 12k + 4k + 3k = 19k = 5600.
Pour trouver k : k = 5600 / 19.
Ensuite, on calcule individuellement : • Points de Sophie = 12k = 12 × (5600/19) = (12×5600) / 19 = 67200/19. • Points de Julien = 4k = 4 × (5600/19) = 22400/19. • Points de Clara = 3k = 3 × (5600/19) = 16800/19.
On peut également donner leur valeur approchée : k ≈ 5600/19 ≈ 294,74, Sophie ≈ 12 × 294,74 ≈ 3536,84, Julien ≈ 4 × 294,74 ≈ 1178,95, Clara ≈ 3 × 294,74 ≈ 884,21.
────────────────────────────── PARTIE 2 – DONNÉES DANS UN TABLEAU (MAJONDERIE)
On nous présente le tableau suivant :
───────────────────────────────────────── Année 2010 2015 2021 Nombre de ménages (en milliers) 2500 3200 4100 Indice 100 128 164 ─────────────────────────────────────────
Nous allons répondre à chacune des questions en nous basant sur les informations du tableau.
────────────────────────────── Question 2.a) « À l’aide du tableau de proportionnalité, calcule l’indice du nombre de ménages en 2015 sur la base 100 en 2010. »
Dans le tableau, pour 2010, l’indice est 100 et pour 2015, l’indice indiqué est 128. On comprend donc que l’indice de 2015, par rapport à 2010, est 128.
Réponse : L’indice est 128.
────────────────────────────── Question 2.b) « Calcule le pourcentage d’augmentation du nombre de ménages en 2015 par rapport à 2010. »
Pour calculer le pourcentage d’augmentation, on compare le nombre de ménages de 2010 et de 2015.
Nombre de ménages en 2010 = 2500, Nombre de ménages en 2015 = 3200.
L’augmentation en nombre est : 3200 – 2500 = 700.
Le pourcentage d’augmentation est : (700 / 2500) × 100 = 28 %.
Réponse : Le nombre de ménages a augmenté de 28 % de 2010 à 2015.
────────────────────────────── Question 2.c) « L’indice du nombre de ménages en 2021 sur la base 100 en 2010 était de 164. Estime le nombre de ménages en 2021. »
Le tableau indique directement pour l’année 2021 un nombre de ménages égal à 4100 (en milliers). Une vérification par rapport à la base 2010 : Si 2500 ménages correspondent à 100, alors pour un indice de 164 on a : (164/100) × 2500 = 2,5 × 164 = 4100.
Réponse : Il y avait 4100 ménages en 2021 (en milliers).
────────────────────────────── Question 2.d) « Des projections estiment que l’indice du nombre de ménages en 2030 sur la base 100 en 2015 serait de 200. Quel serait le pourcentage d’augmentation du nombre de ménages en 2030 par rapport à 2015 ? »
Ici, la base utilisée est l’année 2015 (où l’indice est fixé à 100). Si l’indice est de 200 en 2030, cela signifie que le nombre de ménages en 2030 sera : 200/100 = 2 fois (ou 100 % de plus) que celui de 2015.
Autrement dit, le nombre de ménages aura doublé par rapport à 2015, ce qui représente une augmentation de : (200 – 100) % = 100 %.
Réponse : L’augmentation est de 100 % entre 2015 et 2030.
────────────────────────────── Question 2.e) « Donne une estimation du nombre de ménages en 2030. »
Pour trouver ce nombre, nous utilisons la donnée de 2015 et l’augmentation calculée précédemment. Nombre de ménages en 2015 = 3200. Avec une augmentation de 100 %, le nombre de ménages en 2030 sera : 3200 × 2 = 6400.
Réponse : On estime à 6400 le nombre de ménages (en milliers) en 2030.
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
PARTIE 1 – Concours de dessin : a) Ratio Sophie : Julien : Clara = 12 : 4 : 3. b) Si k = 5600/19, alors : Sophie = 67200/19 points (≈ 3536,84), Julien = 22400/19 points (≈ 1178,95), Clara = 16800/19 points (≈ 884,21).
PARTIE 2 – Données des ménages : a) Indice en 2015 (base 2010) = 128. b) Pourcentage d’augmentation de 2015 par rapport à 2010 = 28 %. c) Nombre de ménages en 2021 = 4100 (en milliers). d) Pourcentage d’augmentation de 2030 par rapport à 2015 = 100 %. e) Estimation du nombre de ménages en 2030 = 6400 (en milliers).
Ces explications détaillées montrent comment passer de l’énoncé aux résultats en appliquant pas à pas les raisonnements et calculs nécessaires.