Exercice 49

Question : Un photocopieur permet d’agrandir ou de réduire un document d’un certain pourcentage. Sur un document, un cercle de rayon \(5\ \text{cm}\) a été dessiné.

  1. Pour obtenir un cercle de rayon \(8\ \text{cm}\) sur un nouveau document, quel pourcentage d’agrandissement doit-on utiliser ? Arrondissez à \(0{,}01\%\).

  2. Si le document original a été perdu, quel pourcentage de réduction doit-on appliquer sur le document agrandi pour retrouver un cercle de rayon \(5\ \text{cm}\) ?

Réponse

Réponses :

  1. Un agrandissement de 60,00 % doit être utilisé.

  2. Une réduction de 62,50 % doit être appliquée.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons résoudre chacune des parties de l’exercice étape par étape.

Partie a. Calcul du pourcentage d’agrandissement

Énoncé :
Un cercle de rayon \(5\ \text{cm}\) est agrandi pour obtenir un rayon de \(8\ \text{cm}\). Quel pourcentage d’agrandissement doit-on utiliser ? Arrondissez à \(0{,}01\%\).

Étapes de résolution :

  1. Comprendre la relation entre les rayons :
    L’agrandissement modifie le rayon du cercle. Nous devons déterminer de combien le rayon original a été augmenté en pourcentage.

  2. Calculer le facteur d’agrandissement :
    Le facteur d’agrandissement (\(k\)) est le rapport entre le rayon final (\(r_f\)) et le rayon initial (\(r_i\)) : \[ k = \frac{r_f}{r_i} \]

    En remplaçant les valeurs données : \[ k = \frac{8\ \text{cm}}{5\ \text{cm}} = 1{,}6 \]

  3. Convertir le facteur en pourcentage :
    Un facteur de \(1{,}6\) correspond à un agrandissement de \(160\%\). Cependant, cela représente le pourcentage du rayon final par rapport au rayon initial.

  4. Déterminer le pourcentage d’augmentation :
    Pour trouver le pourcentage d’augmentation par rapport au rayon initial, on soustrait \(100\%\) (qui représente la taille initiale) du pourcentage obtenu : \[ \text{Pourcentage d’agrandissement} = (k - 1) \times 100\% \]

    Ainsi : \[ \text{Pourcentage d’agrandissement} = (1{,}6 - 1) \times 100\% = 0{,}6 \times 100\% = 60\% \]

    Cependant, pour une précision à \(0{,}01\%\), nous pouvons considérer les décimales du calcul initial : \[ k = \frac{8}{5} = 1{,}6 \quad \text{(exact)} \]

    Donc, le pourcentage d’agrandissement est exactement de \(60{,}00\%\).

Réponse :
Un agrandissement de 60{,}00% doit être utilisé.

Partie b. Calcul du pourcentage de réduction

Énoncé :
Si le document original a été perdu, quel pourcentage de réduction doit-on appliquer sur le document agrandi pour retrouver un cercle de rayon \(5\ \text{cm}\) ?

Étapes de résolution :

  1. Comprendre la relation entre les rayons :
    Nous avons un rayon agrandi de \(8\ \text{cm}\) et nous souhaitons le réduire pour obtenir le rayon initial de \(5\ \text{cm}\).

  2. Calculer le facteur de réduction :
    Le facteur de réduction (\(k'\)) est le rapport entre le rayon final souhaité (\(r_i = 5\ \text{cm}\)) et le rayon agrandi (\(r_f = 8\ \text{cm}\)) : \[ k' = \frac{r_i}{r_f} = \frac{5}{8} = 0{,}625 \]

  3. Convertir le facteur en pourcentage :
    Un facteur de \(0{,}625\) correspond à une réduction de \(62{,}5\%\). Cela représente la proportion du rayon final par rapport au rayon agrandi.

  4. Déterminer le pourcentage de réduction :
    Cependant, pour exprimer cela comme une réduction par rapport au document agrandi, nous devons considérer l’augmentation ou la diminution nécessaire : \[ \text{Pourcentage de réduction} = k' \times 100\% = 62{,}5\% \]

    Ceci signifie que le rayon doit être réduit à \(62{,}5\%\) de sa taille agrandie pour retrouver le rayon initial.

Réponse :
Une réduction de 62{,}50% doit être appliquée.

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