Exercice 44

Une solution de 850 kg d’eau salée contient \(8\,\%\) de sel. On y ajoute de l’eau pure, ce qui fait que la proportion de sel devient \(2\,\%\). Combien de litres d’eau ont été ajoutés ?

Réponse

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Il a fallu ajouter 2 550 litres d’eau pure.

Corrigé détaillé

Correction complète de l’exercice

Nous allons résoudre cet exercice étape par étape pour déterminer combien de litres d’eau ont été ajoutés à la solution initiale.

Énoncé de l’exercice
Étape 1 : Calculer la masse de sel initial dans la solution

La solution initiale contient 8 % de sel. Pour trouver la masse de sel présente dans 850 kg de solution :

\[ \text{Masse de sel initiale} = \frac{8}{100} \times 850\,\text{kg} = 68\,\text{kg} \]

Étape 2 : Introduire la variable pour la masse d’eau ajoutée

Soit \(x\) la masse d’eau pure ajoutée en kilogrammes.

Étape 3 : Écrire l’équation de la nouvelle concentration en sel

Après l’ajout d’eau pure, la masse totale de la solution devient :

\[ \text{Masse totale} = 850\,\text{kg} + x\,\text{kg} \]

La masse de sel reste la même, soit 68 kg, car on ajoute uniquement de l’eau pure sans sel.

La nouvelle concentration en sel est de 2 %, donc :

\[ \frac{68}{850 + x} \times 100 = 2 \]

Étape 4 : Résoudre l’équation pour trouver \(x\)

D’abord, simplifions l’équation :

\[ \frac{68}{850 + x} = \frac{2}{100} \]

\[ \frac{68}{850 + x} = 0,02 \]

Ensuite, multiplions les deux côtés de l’équation par \(850 + x\) pour éliminer le dénominateur :

\[ 68 = 0,02 \times (850 + x) \]

Développons le côté droit :

\[ 68 = 0,02 \times 850 + 0,02 \times x \]

Calculons \(0,02 \times 850\) :

\[ 0,02 \times 850 = 17 \]

L’équation devient donc :

\[ 68 = 17 + 0,02x \]

Soustrayons 17 des deux côtés pour isoler le terme en \(x\) :

\[ 68 - 17 = 0,02x \]

\[ 51 = 0,02x \]

Enfin, divisons par 0,02 pour trouver \(x\) :

\[ x = \frac{51}{0,02} = 2550\,\text{kg} \]

Étape 5 : Convertir la masse d’eau ajoutée en litres

La densité de l’eau pure est de \(1\,\text{kg/L}\). Ainsi, \(1\,\text{kg}\) d’eau correspond à \(1\,\text{L}\).

Donc, \(2550\,\text{kg}\) d’eau équivaut à :

\[ 2550\,\text{kg} = 2550\,\text{L} \]

Réponse finale

Il a fallu ajouter 2 550 litres d’eau pure.

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