Exercice 44
Une solution de 850 kg d’eau salée contient \(8\,\%\) de sel. On y ajoute de l’eau pure, ce qui fait que la proportion de sel devient \(2\,\%\). Combien de litres d’eau ont été ajoutés ?
Réponse
Il a fallu ajouter 2 550 litres d’eau pure.
Corrigé détaillé
Correction complète de l’exercice
Nous allons résoudre cet exercice étape par étape pour déterminer combien de litres d’eau ont été ajoutés à la solution initiale.
Énoncé de l’exercice
- Solution initiale : 850 kg d’eau salée contenant 8 % de sel.
- Ajout : de l’eau pure.
- Nouvelle concentration en sel : 2 %.
- Question : Combien de litres d’eau ont été ajoutés ?
Étape 1 : Calculer la masse de sel initial dans la solution
La solution initiale contient 8 % de sel. Pour trouver la masse de sel présente dans 850 kg de solution :
\[ \text{Masse de sel initiale} = \frac{8}{100} \times 850\,\text{kg} = 68\,\text{kg} \]
Étape 2 : Introduire la variable pour la masse d’eau ajoutée
Soit \(x\) la masse d’eau pure ajoutée en kilogrammes.
Étape 3 : Écrire l’équation de la nouvelle concentration en sel
Après l’ajout d’eau pure, la masse totale de la solution devient :
\[ \text{Masse totale} = 850\,\text{kg} + x\,\text{kg} \]
La masse de sel reste la même, soit 68 kg, car on ajoute uniquement de l’eau pure sans sel.
La nouvelle concentration en sel est de 2 %, donc :
\[ \frac{68}{850 + x} \times 100 = 2 \]
Étape 4 : Résoudre l’équation pour trouver \(x\)
D’abord, simplifions l’équation :
\[ \frac{68}{850 + x} = \frac{2}{100} \]
\[ \frac{68}{850 + x} = 0,02 \]
Ensuite, multiplions les deux côtés de l’équation par \(850 + x\) pour éliminer le dénominateur :
\[ 68 = 0,02 \times (850 + x) \]
Développons le côté droit :
\[ 68 = 0,02 \times 850 + 0,02 \times x \]
Calculons \(0,02 \times 850\) :
\[ 0,02 \times 850 = 17 \]
L’équation devient donc :
\[ 68 = 17 + 0,02x \]
Soustrayons 17 des deux côtés pour isoler le terme en \(x\) :
\[ 68 - 17 = 0,02x \]
\[ 51 = 0,02x \]
Enfin, divisons par 0,02 pour trouver \(x\) :
\[ x = \frac{51}{0,02} = 2550\,\text{kg} \]
Étape 5 : Convertir la masse d’eau ajoutée en litres
La densité de l’eau pure est de \(1\,\text{kg/L}\). Ainsi, \(1\,\text{kg}\) d’eau correspond à \(1\,\text{L}\).
Donc, \(2550\,\text{kg}\) d’eau équivaut à :
\[ 2550\,\text{kg} = 2550\,\text{L} \]
Réponse finale
Il a fallu ajouter 2 550 litres d’eau pure.