Exercice 42

Un capital de 48 000 fr. a été placé dans une banque pendant un an et a rapporté 2 200 fr. d’intérêts. Pendant les sept premiers mois, le taux était de \(5\%\), puis il a changé pour le reste de l’année. Quel était le nouveau taux ?

Réponse

Le nouveau taux d’intérêt pour les 5 derniers mois est de 4 %. Ainsi, un capital de 48 000 francs génère un total de 2 200 francs d’intérêts sur un an, avec 1 400 francs issus des sept premiers mois à 5 % et 800 francs des cinq derniers mois à 4 %.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous devons déterminer le nouveau taux d’intérêt appliqué pendant les 5 derniers mois de l’année, sachant que le capital initial est de 48 000 francs, le taux pour les sept premiers mois est de 5 %, et le total des intérêts annuels est de 2 200 francs.

Étape 1 : Comprendre le problème

• Capital initial (\(C\)) : 48 000 francs
• Durée totale (\(T\)) : 1 an (12 mois)
• Intérêts totaux (\(I_{total}\)) : 2 200 francs
• Taux pour les 7 premiers mois (\(r_1\)) : 5 %
• Nouveau taux pour les 5 derniers mois (\(r_2\)) : à déterminer

Nous supposerons que les intérêts sont calculés de manière simple, c’est-à-dire sans capitalisation.

Étape 2 : Calcul des intérêts pour les 7 premiers mois

La formule des intérêts simples est donnée par :

\[ I = C \times t \times r \]

où : - \(I\) est l’intérêt, - \(C\) est le capital, - \(t\) est le temps en années, - \(r\) est le taux d’intérêt.

Pour les 7 premiers mois :

\[ t_1 = \frac{7}{12} \text{ année} \] \[ I_1 = 48\,000 \times \frac{7}{12} \times 0,05 \]

Calculons \(I_1\) :

\[ I_1 = 48\,000 \times \frac{7}{12} \times 0,05 = 48\,000 \times 0,5833 \times 0,05 \approx 48\,000 \times 0,0291665 \approx 1\,400 \]

Donc, les intérêts pour les 7 premiers mois sont de 1 400 francs.

Étape 3 : Calcul des intérêts pour les 5 derniers mois

Le total des intérêts est de 2 200 francs. Les intérêts restants pour les 5 derniers mois sont donc :

\[ I_2 = I_{total} - I_1 = 2\,200 - 1\,400 = 800 \text{ francs} \]

Nous devons maintenant trouver le taux \(r_2\) tel que :

\[ I_2 = C \times t_2 \times r_2 \]

où : - \(t_2 = \frac{5}{12}\) année, - \(I_2 = 800\) francs, - \(C = 48\,000\) francs.

Isolons \(r_2\) :

\[ r_2 = \frac{I_2}{C \times t_2} = \frac{800}{48\,000 \times \frac{5}{12}} = \frac{800}{48\,000 \times 0,4167} = \frac{800}{20\,000} = 0,04 \]

Convertissons en pourcentage :

\[ r_2 = 0,04 \times 100 = 4\% \]

Conclusion

Le nouveau taux d’intérêt appliqué pendant les 5 derniers mois de l’année est de 4 %.

Résumé des étapes

1. Calcul des intérêts pour les 7 premiers mois à 5 % : 1 400 francs.
2. Détermination des intérêts restants pour atteindre le total de 2 200 francs : 800 francs.
3. Calcul du nouveau taux d’intérêt \(r_2\) pour les 5 derniers mois : 4 %.

Ainsi, le capital de 48 000 francs placé pendant un an rapporte au total 2 200 francs d’intérêts avec un taux initial de 5 % pour les sept premiers mois et un nouveau taux de 4 % pour les cinq derniers mois.