L’intérêt d’un capital placé pendant 9 mois à \(4\,\%\) s’élève à 165 francs. Quel est ce capital ?
Le capital initial placé est de 5 500 francs.
Correction détaillée :
Nous devons déterminer le capital initial \(C\) qui, placé pendant 9 mois à un taux d’intérêt annuel de \(4\,\%\), génère un intérêt de 165 francs.
Étape 1 : Comprendre la formule des intérêts simples
La formule des intérêts simples est donnée par :
\[ I = C \times r \times t \]
où : - \(I\) représente l’intérêt généré, - \(C\) est le capital initial, - \(r\) est le taux d’intérêt annuel (sous forme décimale), - \(t\) est la durée du placement en années.
Étape 2 : Convertir la durée en années
La durée donnée est de 9 mois. Pour utiliser la formule, nous devons exprimer cette durée en années :
\[ t = \frac{9 \text{ mois}}{12 \text{ mois par an}} = 0.75 \text{ années} \]
Étape 3 : Convertir le taux d’intérêt en décimal
Le taux d’intérêt annuel est de \(4\,\%\). En décimal, cela devient :
\[ r = \frac{4}{100} = 0.04 \]
Étape 4 : Appliquer la formule des intérêts simples
Nous connaissons maintenant tous les éléments nécessaires pour utiliser la formule :
\[ 165 = C \times 0.04 \times 0.75 \]
Étape 5 : Isoler le capital \(C\)
Pour trouver \(C\), nous divisons les deux côtés de l’équation par \(0.04 \times 0.75\) :
\[ C = \frac{165}{0.04 \times 0.75} \]
Calculons le dénominateur :
\[ 0.04 \times 0.75 = 0.03 \]
Ainsi,
\[ C = \frac{165}{0.03} = 5500 \]
Conclusion :
Le capital initial placé est de 5 500 francs.