Quelle est la pente moyenne d’une colline de hauteur \(100\,\text{m}\), si un village situé à son sommet et un autre à sa base sont distants de \(16\,\text{cm}\) sur une carte au rapport \(1:5000\) ?
La pente moyenne de la colline est de 12,5 %.
Énoncé :
Quelle est la pente moyenne d’une colline de hauteur \(100\,\text{m}\), si un village situé à son sommet et un autre à sa base sont distants de \(16\,\text{cm}\) sur une carte au rapport \(1:5000\) ?
Correction détaillée :
Pour déterminer la pente moyenne de la colline, nous devons comparer la différence d’altitude à la distance horizontale entre les deux villages. Voici les étapes à suivre :
L’échelle de la carte nous permet de passer de la distance mesurée sur la carte à la distance réelle sur le terrain.
\[ d_{\text{réel}} = d_{\text{carte}} \times \text{Échelle} = 16\,\text{cm} \times 5000 = 80\,000\,\text{cm} \]
Pour une meilleure compréhension, convertissons les centimètres en mètres :
\[ 80\,000\,\text{cm} = 800\,\text{m} \]
Donc, la distance réelle entre les deux villages est de \(800\,\text{m}\).
La pente moyenne (\(\mathcal{P}\)) se calcule en divisant la différence d’altitude par la distance horizontale parcourue.
\[ \mathcal{P} = \frac{H}{d_{\text{réel}}} = \frac{100\,\text{m}}{800\,\text{m}} = 0,125 \]
Pour exprimer la pente en pourcentage, il suffit de multiplier le résultat obtenu par 100.
\[ \mathcal{P} = 0,125 \times 100 = 12{,}5\% \]
La pente moyenne de la colline est de \(12{,}5\,\%\).