Exercice 36
Quelle est la pente moyenne d’une colline de hauteur \(100\,\text{m}\), si un village situé à son sommet et un autre à sa base sont distants de \(16\,\text{cm}\) sur une carte au rapport \(1:5000\) ?
Réponse
La pente moyenne de la colline est de 12,5 %.
Corrigé détaillé
Énoncé :
Quelle est la pente moyenne d’une colline de hauteur \(100\,\text{m}\), si un village situé à son sommet et un autre à sa base sont distants de \(16\,\text{cm}\) sur une carte au rapport \(1:5000\) ?
Correction détaillée :
Pour déterminer la pente moyenne de la colline, nous devons comparer la différence d’altitude à la distance horizontale entre les deux villages. Voici les étapes à suivre :
Étape 1 : Comprendre les données fournies
- Hauteur de la colline (différence d’altitude) : \(H = 100\,\text{m}\)
- Distance entre les villages sur la carte : \(d_{\text{carte}} = 16\,\text{cm}\)
- Échelle de la carte : \(1:5000\) (Cela signifie que \(1\,\text{cm}\) sur la carte représente \(5000\,\text{cm}\) dans la réalité.)
Étape 2 : Convertir la distance de la carte en distance réelle
L’échelle de la carte nous permet de passer de la distance mesurée sur la carte à la distance réelle sur le terrain.
\[ d_{\text{réel}} = d_{\text{carte}} \times \text{Échelle} = 16\,\text{cm} \times 5000 = 80\,000\,\text{cm} \]
Pour une meilleure compréhension, convertissons les centimètres en mètres :
\[ 80\,000\,\text{cm} = 800\,\text{m} \]
Donc, la distance réelle entre les deux villages est de \(800\,\text{m}\).
Étape 3 : Calculer la pente moyenne
La pente moyenne (\(\mathcal{P}\)) se calcule en divisant la différence d’altitude par la distance horizontale parcourue.
\[ \mathcal{P} = \frac{H}{d_{\text{réel}}} = \frac{100\,\text{m}}{800\,\text{m}} = 0,125 \]
Étape 4 : Exprimer la pente en pourcentage
Pour exprimer la pente en pourcentage, il suffit de multiplier le résultat obtenu par 100.
\[ \mathcal{P} = 0,125 \times 100 = 12{,}5\% \]
Conclusion
La pente moyenne de la colline est de \(12{,}5\,\%\).