Exercice 35

Un téléphérique relie deux stations, dont l’une est située à une altitude de 530 m. Sur une carte à l’échelle 1 : 20 000, les deux stations sont distantes de \(7,5\,\mathrm{cm}\). Calculer l’altitude de l’autre station, sachant que le câble du téléphérique présente une pente de \(28\,\%\).

Réponse

L’altitude de l’autre station est de 950 m.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Pour déterminer l’altitude de l’autre station reliée par le téléphérique, suivons les étapes suivantes :

Étape 1 : Convertir la distance sur la carte en distance réelle

La carte a une échelle de \(1\,:\,20\,000\), ce qui signifie que \(1\,\mathrm{cm}\) sur la carte correspond à \(20\,000\,\mathrm{cm}\) dans la réalité.

La distance entre les deux stations sur la carte est de \(7,5\,\mathrm{cm}\). Calculons la distance réelle (\(D_r\)) :

\[ D_r = 7,5\,\mathrm{cm} \times 20\,000 = 150\,000\,\mathrm{cm} \]

Convertissons les centimètres en mètres :

\[ 150\,000\,\mathrm{cm} \div 100 = 1\,500\,\mathrm{m} \]

Donc, la distance réelle entre les deux stations est de 1 500 m.

Étape 2 : Calculer la différence d’altitude grâce à la pente du câble

La pente (\(p\)) du câble est de \(28\,\%\), ce qui signifie que pour chaque 100 m parcourus horizontalement, l’altitude augmente de 28 m.

Pour trouver la différence d’altitude (\(\Delta h\)), utilisons la formule suivante :

\[ \Delta h = p \times D_r = 0,28 \times 1\,500\,\mathrm{m} = 420\,\mathrm{m} \]

Ainsi, la différence d’altitude entre les deux stations est de 420 m.

Étape 3 : Déterminer l’altitude de l’autre station

L’une des stations est située à une altitude de 530 m. Pour trouver l’altitude de l’autre station (\(H\)), ajoutons la différence d’altitude calculée :

\[ H = 530\,\mathrm{m} + 420\,\mathrm{m} = 950\,\mathrm{m} \]

Réponse

L’altitude de l’autre station est de 950 m.

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