Exercice 34

Sur une carte au \(1\,:\,400\,000\), la distance entre deux villages est de 56 cm. Quelle serait la distance en centimètres entre ces villages sur une carte au \(1\,:\,1\,000\,000\) ?

Réponse

La distance entre les deux villages sur la deuxième carte au \(1 : 1\,000\,000\) est de 22,4 cm.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Nous devons déterminer la distance entre deux villages sur une carte ayant un rapport d’échelle différent.

Données : - Première carte : Rapport d’échelle de \(1 : 400\,000\) - Distance sur la première carte : \(56 \, \text{cm}\) - Deuxième carte : Rapport d’échelle de \(1 : 1\,000\,000\) - Distance à trouver sur la deuxième carte : ?

Étapes de résolution :

  1. Comprendre le rapport d’échelle :

    Un rapport d’échelle de \(1 : 400\,000\) signifie que 1 cm sur la carte représente 400,000 cm dans la réalité.

    De même, un rapport d’échelle de \(1 : 1\,000\,000\) signifie que 1 cm sur la carte représente 1,000,000 cm dans la réalité.

  2. Calculer la distance réelle entre les villages :

    Sur la première carte, la distance entre les deux villages est de \(56 \, \text{cm}\).

    Pour trouver la distance réelle, on multiplie cette distance par le rapport d’échelle :

    \[ \text{Distance réelle} = 56 \, \text{cm} \times 400\,000 = 22\,400\,000 \, \text{cm} \]

    Conversion en kilomètres :

    Il peut être utile de convertir cette distance en kilomètres pour une meilleure compréhension.

    \[ 22\,400\,000 \, \text{cm} = \frac{22\,400\,000}{100\,000} \, \text{km} = 224 \, \text{km} \]

  3. Déterminer la distance sur la deuxième carte :

    Maintenant que nous connaissons la distance réelle (\(224 \, \text{km}\)), nous pouvons la représenter sur la deuxième carte avec un rapport d’échelle de \(1 : 1\,000\,000\).

    Pour cela, nous divisons la distance réelle par le nouveau rapport d’échelle :

    \[ \text{Distance sur la deuxième carte} = \frac{22\,400\,000 \, \text{cm}}{1\,000\,000} = 22,4 \, \text{cm} \]

    Vérification :

    • Avec un rapport d’échelle plus grand (\(1 : 1\,000\,000\) au lieu de \(1 : 400\,000\)), la distance représentée sur la carte devient plus petite, ce qui est logique car l’échelle est moins détaillée.

Conclusion :

La distance entre les deux villages sur une carte au \(1 : 1\,000\,000\) est de 22,4 cm.

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