Exercice 29
Les grandeurs suivantes sont-elles directement proportionnelles, inversement proportionnelles ou ni l’un ni l’autre ?
- Le périmètre d’un carré et la longueur de son côté.
- L’aire d’un carré et la longueur de son côté.
- Pour une aire donnée, la largeur d’un rectangle et sa longueur.
- La distance sur une carte et la distance réelle.
- La contenance d’un récipient et la masse d’eau qu’il contient lorsqu’il est plein.
- Pour une aire de base donnée, la capacité d’un réservoir et sa profondeur.
Réponse
Résumé des réponses :
- Directement proportionnelles
- Ni directement ni inversement proportionnelles
- Inversement proportionnelles
- Directement proportionnelles
- Directement proportionnelles
- Directement proportionnelles
Corrigé détaillé
Correction détaillée des exercices de proportionnalité
Nous allons analyser chaque paire de grandeurs pour déterminer si elles sont directement proportionnelles, inversement proportionnelles ou ni l’un ni l’autre.
1. Le périmètre d’un carré et la longueur de son côté.
Analyse
Définition du périmètre d’un carré : Le périmètre \(P\) d’un carré est égal à 4 fois la longueur d’un côté \(c\).
\[ P = 4c \]
Relation entre \(P\) et \(c\) : Ici, le périmètre \(P\) est obtenu en multipliant la longueur du côté \(c\) par une constante (4).
Conclusion
Les grandeurs directement proportionnelles. Si la longueur du côté augmente, le périmètre augmente également proportionnellement.
2. L’aire d’un carré et la longueur de son côté.
Analyse
Définition de l’aire d’un carré : L’aire \(A\) d’un carré est égale au carré de la longueur d’un côté \(c\).
\[ A = c^2 \]
Relation entre \(A\) et \(c\) : L’aire dépend du carré de la longueur du côté, ce qui n’est pas une relation linéaire.
Conclusion
Les grandeurs ni directement proportionnelles ni inversement proportionnelles. L’aire augmente de façon quadratique par rapport à la longueur du côté.
3. Pour une aire donnée, la largeur d’un rectangle et sa longueur.
Analyse
Aire d’un rectangle : Pour une aire \(A\) donnée, le produit de la largeur \(L\) et de la longueur \(l\) est constant.
\[ A = L \times l \]
Relation entre \(L\) et \(l\) : Si la largeur \(L\) augmente, la longueur \(l\) doit diminuer pour que le produit reste constant, et vice versa.
Conclusion
Les grandeurs inversement proportionnelles. L’augmentation de l’une entraîne la diminution de l’autre de manière proportionnelle.
4. La distance sur une carte et la distance réelle.
Analyse
Échelle de la carte : La distance sur la carte \(d_{\text{carte}}\) est proportionnelle à la distance réelle \(d_{\text{réelle}}\) par un facteur d’échelle \(k\).
\[ d_{\text{carte}} = k \times d_{\text{réelle}} \]
Relation entre \(d_{\text{carte}}\) et \(d_{\text{réelle}}\) : C’est une relation linéaire où les deux distances augmentent ou diminuent proportionnellement selon l’échelle.
Conclusion
Les grandeurs directement proportionnelles. Une augmentation de la distance réelle se reflète proportionnellement sur la carte.
5. La contenance d’un récipient et la masse d’eau qu’il contient lorsqu’il est plein.
Analyse
Relation entre contenance et masse : La masse \(m\) d’eau dans un récipient est proportionnelle à sa contenance \(C\) (volume) si la densité de l’eau est constante.
\[ m = \rho \times C \]
Où \(\rho\) est la densité de l’eau.
Relation entre \(m\) et \(C\) : Si la contenance \(C\) augmente, la masse \(m\) augmente également proportionnellement, étant donné que la densité \(\rho\) reste inchangée.
Conclusion
Les grandeurs directement proportionnelles. Une augmentation de la contenance du récipient entraîne une augmentation proportionnelle de la masse d’eau qu’il peut contenir.
6. Pour une aire de base donnée, la capacité d’un réservoir et sa profondeur.
Analyse
Capacité d’un réservoir : Pour une aire de base \(A\) constante, la capacité \(V\) du réservoir est proportionnelle à sa profondeur \(h\).
\[ V = A \times h \]
Relation entre \(V\) et \(h\) : C’est une relation linéaire directe. Si la profondeur \(h\) augmente, la capacité \(V\) augmente proportionnellement.
Conclusion
Les grandeurs directement proportionnelles. Une augmentation de la profondeur du réservoir entraîne une augmentation proportionnelle de sa capacité.
Résumé des Réponses
- Directement proportionnelles
- Ni directement ni inversement proportionnelles
- Inversement proportionnelles
- Directement proportionnelles
- Directement proportionnelles
- Directement proportionnelles
Remarque
Pour déterminer si deux grandeurs sont proportionnelles, il est essentiel d’analyser la relation mathématique qui les lie. Une proportionnalité directe implique une relation linéaire où les grandeurs augmentent ou diminuent ensemble. Une proportionnalité inverse signifie que lorsque l’une augmente, l’autre diminue de manière à maintenir un produit constant.
Conclusion
En suivant ces analyses, vous pouvez identifier la nature de la proportionnalité entre différentes grandeurs dans divers contextes mathématiques.