Exercice 28

Les grandeurs suivantes sont-elles directement proportionnelles, inversement proportionnelles ou ni l’un ni l’autre ?

  1. Le prix payé pour des oranges et le poids de ces oranges,
  2. Le nombre d’ouvriers et le temps nécessaire pour effectuer un certain travail,
  3. Le nombre d’heures de travail et le salaire,
  4. La longueur d’une course en taxi et le prix payé,
  5. Le temps mis par une voiture pour effectuer un trajet donné et sa vitesse moyenne,
  6. À vitesse constante, la distance parcourue et le temps.

Réponse

Résumé de la Correction
  1. Prix des oranges et poids : directement proportionnels
  2. Nombre d’ouvriers et temps : inversement proportionnels
  3. Heures de travail et salaire : directement proportionnels
  4. Longueur de course en taxi et prix : directement proportionnels
  5. Temps pour un trajet et vitesse : inversement proportionnels
  6. Distance parcourue et temps (vitesse constante) : directement proportionnels

Corrigé détaillé

Correction :

Pour déterminer si les grandeurs sont directement proportionnelles, inversement proportionnelles ou ni l’un ni l’autre, analysons chaque paire de grandeurs une par une.


1. Le prix payé pour des oranges et le poids de ces oranges

Proportion : Directement proportionnelles

Explication : - Définition : Deux grandeurs sont directement proportionnelles si leur rapport est constant. Autrement dit, si l’une augmente, l’autre augmente aussi dans une même proportion. - Application : Le prix des oranges dépend du poids acheté. Si le prix au kilogramme est constant, alors :

\[ \text{Prix} = p \times \text{Poids} \]

\(p\) est le prix par kilogramme.

Conclusion : Le prix payé et le poids des oranges sont directement proportionnels.


2. Le nombre d’ouvriers et le temps nécessaire pour effectuer un certain travail

Proportion : Inversement proportionnelles

Explication : - Définition : Deux grandeurs sont inversement proportionnelles si leur produit est constant. Si l’une augmente, l’autre diminue de manière à ce que leur produit reste inchangé. - Application : Plus il y a d’ouvriers, moins de temps est nécessaire pour accomplir une tâche, à condition que le travail soit réparti équitablement.

\[ \text{Temps} \times \text{Nombre d’ouvriers} = \text{Constant} \]

Conclusion : Le nombre d’ouvriers et le temps nécessaire sont inversement proportionnels.


3. Le nombre d’heures de travail et le salaire

Proportion : Directement proportionnelles

Explication : - Définition : La proportion directe s’applique ici puisque le salaire dépend du nombre d’heures travaillées. - Application : Le salaire est calculé en multipliant le nombre d’heures par le taux horaire de rémunération.

\[ \text{Salaire} = \text{Heures} \times \text{Taux horaire} \]

Conclusion : Le nombre d’heures de travail et le salaire sont directement proportionnels.


4. La longueur d’une course en taxi et le prix payé

Proportion : Directement proportionnelles

Explication : - Définition : La proportion directe s’applique lorsque le prix augmente de façon linéaire avec la distance parcourue. - Application : Le prix d’une course en taxi est généralement composé d’un tarif de base plus un tarif par kilomètre parcouru.

\[ \text{Prix} = \text{Tarif de base} + (\text{Tarif par km} \times \text{Distance}) \]

Si le tarif de base est constant, l’augmentation du prix dépend directement de la distance.

Conclusion : La longueur d’une course en taxi et le prix payé sont directement proportionnels.


5. Le temps mis par une voiture pour effectuer un trajet donné et sa vitesse moyenne

Proportion : Inversement proportionnelles

Explication : - Définition : Lorsque la vitesse augmente, le temps nécessaire diminue de manière à ce que leur produit (distance) reste constant. - Application : Le temps pour parcourir une distance fixe est obtenu en divisant la distance par la vitesse moyenne.

\[ \text{Temps} = \frac{\text{Distance}}{\text{Vitesse}} \]

Conclusion : Le temps mis pour un trajet donné et la vitesse moyenne sont inversement proportionnels.


6. À vitesse constante, la distance parcourue et le temps

Proportion : Directement proportionnelles

Explication : - Définition : Si la vitesse est constante, la distance parcourue augmente de façon linéaire avec le temps. - Application : La distance est calculée en multipliant la vitesse par le temps.

\[ \text{Distance} = \text{Vitesse} \times \text{Temps} \]

Conclusion : La distance parcourue et le temps sont directement proportionnels lorsque la vitesse est constante.


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