Les grandeurs suivantes sont-elles directement proportionnelles, inversement proportionnelles ou ni l’un ni l’autre ?
Correction :
Pour déterminer si les grandeurs sont directement proportionnelles, inversement proportionnelles ou ni l’un ni l’autre, analysons chaque paire de grandeurs une par une.
Proportion : Directement proportionnelles
Explication : - Définition : Deux grandeurs sont directement proportionnelles si leur rapport est constant. Autrement dit, si l’une augmente, l’autre augmente aussi dans une même proportion. - Application : Le prix des oranges dépend du poids acheté. Si le prix au kilogramme est constant, alors :
\[ \text{Prix} = p \times \text{Poids} \]
où \(p\) est le prix par kilogramme.
Conclusion : Le prix payé et le poids des oranges sont directement proportionnels.
Proportion : Inversement proportionnelles
Explication : - Définition : Deux grandeurs sont inversement proportionnelles si leur produit est constant. Si l’une augmente, l’autre diminue de manière à ce que leur produit reste inchangé. - Application : Plus il y a d’ouvriers, moins de temps est nécessaire pour accomplir une tâche, à condition que le travail soit réparti équitablement.
\[ \text{Temps} \times \text{Nombre d’ouvriers} = \text{Constant} \]
Exemple : Si 4 ouvriers mettent 5 heures pour terminer un travail, alors 10 ouvriers mettront :
\[ \text{Temps} = \frac{4 \times 5}{10} = 2 \text{ heures} \]
Conclusion : Le nombre d’ouvriers et le temps nécessaire sont inversement proportionnels.
Proportion : Directement proportionnelles
Explication : - Définition : La proportion directe s’applique ici puisque le salaire dépend du nombre d’heures travaillées. - Application : Le salaire est calculé en multipliant le nombre d’heures par le taux horaire de rémunération.
\[ \text{Salaire} = \text{Heures} \times \text{Taux horaire} \]
Exemple : Si le taux horaire est de 15 € et que quelqu’un travaille 20 heures, son salaire sera :
\[ \text{Salaire} = 20 \times 15 = 300 € \]
Si les heures sont doublées, le salaire double également.
Conclusion : Le nombre d’heures de travail et le salaire sont directement proportionnels.
Proportion : Directement proportionnelles
Explication : - Définition : La proportion directe s’applique lorsque le prix augmente de façon linéaire avec la distance parcourue. - Application : Le prix d’une course en taxi est généralement composé d’un tarif de base plus un tarif par kilomètre parcouru.
\[ \text{Prix} = \text{Tarif de base} + (\text{Tarif par km} \times \text{Distance}) \]
Si le tarif de base est constant, l’augmentation du prix dépend directement de la distance.
Exemple : Si le tarif de base est 2 € et le tarif est de 1,5 € par km, une course de 10 km coûtera :
\[ \text{Prix} = 2 + (1,5 \times 10) = 17 € \]
Une course de 20 km coûtera 32 €, ce qui montre une proportionnalité directe entre distance et prix.
Conclusion : La longueur d’une course en taxi et le prix payé sont directement proportionnels.
Proportion : Inversement proportionnelles
Explication : - Définition : Lorsque la vitesse augmente, le temps nécessaire diminue de manière à ce que leur produit (distance) reste constant. - Application : Le temps pour parcourir une distance fixe est obtenu en divisant la distance par la vitesse moyenne.
\[ \text{Temps} = \frac{\text{Distance}}{\text{Vitesse}} \]
Exemple : Pour un trajet de 150 km :
Lorsque la vitesse double, le temps est divisé par deux.
Conclusion : Le temps mis pour un trajet donné et la vitesse moyenne sont inversement proportionnels.
Proportion : Directement proportionnelles
Explication : - Définition : Si la vitesse est constante, la distance parcourue augmente de façon linéaire avec le temps. - Application : La distance est calculée en multipliant la vitesse par le temps.
\[ \text{Distance} = \text{Vitesse} \times \text{Temps} \]
Exemple : Si une voiture roule à 60 km/h :
La distance est donc directement proportionnelle au temps.
Conclusion : La distance parcourue et le temps sont directement proportionnels lorsque la vitesse est constante.