Dans chaque cas, calculez \(x\) pour que la proportion soit vérifiée :
\(\frac{\frac{3}{2} x}{0,3} = \frac{1,2}{0,5}\)
\(\frac{15^{6}}{3^{7}} = \frac{5^{8}}{x}\)
\(\frac{x}{5} = \frac{1,25}{x}\)
\(\frac{2x - 3}{x + 1} = \frac{3}{7}\)
\(\frac{x + 4}{4} = \frac{5}{x - 4}\)
\(\frac{2x}{9} = \frac{\frac{9}{50}}{x}\)
Énoncé : \[ \frac{\frac{3}{2} x}{0,3} = \frac{1,2}{0,5} \]
Solution :
Comprendre la proportion : \[ \frac{\frac{3}{2} x}{0,3} = \frac{1,2}{0,5} \] Cela signifie que les deux rapports sont égaux.
Simplifier le côté droit de l’équation : \[ \frac{1,2}{0,5} = \frac{1,2 \div 0,1}{0,5 \div 0,1} = \frac{12}{5} = 2,4 \]
Simplifier le côté gauche de l’équation : \[ \frac{\frac{3}{2} x}{0,3} = \frac{3x}{2 \times 0,3} = \frac{3x}{0,6} = 5x \] (Car \(\frac{3}{0,6} = 5\))
Établir l’équation simplifiée : \[ 5x = 2,4 \]
Résoudre pour \(x\) : \[ x = \frac{2,4}{5} = 0,48 \]
Réponse : \[ x = 0,48 \]
Énoncé : \[ \frac{15^{6}}{3^{7}} = \frac{5^{8}}{x} \]
Solution :
Simplifier l’expression \(\frac{15^{6}}{3^{7}}\) : \[ 15 = 3 \times 5 \quad \Rightarrow \quad 15^{6} = (3 \times 5)^{6} = 3^{6} \times 5^{6} \] Donc, \[ \frac{15^{6}}{3^{7}} = \frac{3^{6} \times 5^{6}}{3^{7}} = 3^{6-7} \times 5^{6} = 3^{-1} \times 5^{6} = \frac{5^{6}}{3} \]
Établir l’équation : \[ \frac{5^{6}}{3} = \frac{5^{8}}{x} \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{5^{8} \times 3}{5^{6}} = 3 \times 5^{8-6} = 3 \times 5^{2} = 3 \times 25 = 75 \]
Réponse : \[ x = 75 \]
Énoncé : \[ \frac{x}{5} = \frac{1,25}{x} \]
Solution :
Établir l’équation : \[ \frac{x}{5} = \frac{1,25}{x} \]
Multiplier en croix pour éliminer les fractions : \[ x \times x = 5 \times 1,25 \] \[ x^{2} = 6,25 \]
Résoudre pour \(x\) : \[ x = \sqrt{6,25} = 2,5 \] (On considère la solution positive car \(x\) est dans un dénominateur)
Réponse : \[ x = 2,5 \]
Énoncé : \[ \frac{2x - 3}{x + 1} = \frac{3}{7} \]
Solution :
Établir l’équation : \[ \frac{2x - 3}{x + 1} = \frac{3}{7} \]
Multiplier en croix pour éliminer les fractions : \[ 7(2x - 3) = 3(x + 1) \]
Développer les deux côtés : \[ 14x - 21 = 3x + 3 \]
Isoler les termes en \(x\) : \[ 14x - 3x = 3 + 21 \] \[ 11x = 24 \]
Résoudre pour \(x\) : \[ x = \frac{24}{11} \approx 2,18 \]
Réponse : \[ x = \frac{24}{11} \]
Énoncé : \[ \frac{x + 4}{4} = \frac{5}{x - 4} \]
Solution :
Établir l’équation : \[ \frac{x + 4}{4} = \frac{5}{x - 4} \]
Multiplier en croix pour éliminer les fractions : \[ (x + 4)(x - 4) = 4 \times 5 \] \[ (x + 4)(x - 4) = 20 \]
Reconnaître la différence de carrés : \[ x^{2} - 16 = 20 \]
Isoler \(x^{2}\) : \[ x^{2} = 20 + 16 \] \[ x^{2} = 36 \]
Résoudre pour \(x\) : \[ x = \sqrt{36} = 6 \quad \text{ou} \quad x = -6 \]
Vérifier les solutions dans l’équation originale :
Réponse : \[ x = 6 \quad \text{ou} \quad x = -6 \]
Énoncé : \[ \frac{2x}{9} = \frac{\frac{9}{50}}{x} \]
Solution :
Établir l’équation : \[ \frac{2x}{9} = \frac{\frac{9}{50}}{x} \]
Simplifier le côté droit de l’équation : \[ \frac{\frac{9}{50}}{x} = \frac{9}{50x} \] Donc, \[ \frac{2x}{9} = \frac{9}{50x} \]
Multiplier en croix pour éliminer les fractions : \[ 2x \times 50x = 9 \times 9 \] \[ 100x^{2} = 81 \]
Isoler \(x^{2}\) : \[ x^{2} = \frac{81}{100} \]
Résoudre pour \(x\) : \[ x = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} \] (On considère la solution positive car \(x\) est dans un dénominateur)
Réponse : \[ x = \frac{9}{10} \]