Pour chaque cas, calculer \(x\) de manière à ce que la proportion soit vérifiée :
\[\dfrac{20}{x} = \dfrac{8}{5}\]
\[\dfrac{2}{x} = \dfrac{x}{32}\]
\[\dfrac{\dfrac{3}{2} x}{7} = \dfrac{\dfrac{8}{5}}{3,5}\]
\[\dfrac{4 - x}{x} = \dfrac{8}{3}\]
\[\dfrac{1 - \dfrac{1}{3}}{5} = \dfrac{3}{x}\]
\[\dfrac{2x - 1}{x + 2} = \dfrac{4x - 1}{2x + 3}\]
Voici le résumé très court des solutions :
Nous allons résoudre chacune des proportions une par une en appliquant la méthode du produit en croix (ou en effectuant les opérations de manière équivalente). Voici la démarche détaillée :
────────────────────────────── Exercice 1) Nous avons la proportion :
20/x = 8/5
Pour trouver x, on multiplie en croix (c’est-à-dire que l’on égalise le produit de la diagonale) :
20 × 5 = 8 × x
Calculons : 20 × 5 = 100, donc l’équation est : 100 = 8x
Pour isoler x, on divise par 8 : x = 100/8
On peut simplifier cette fraction en divisant numérateur et dénominateur par 2 : 100/8 = (50/4) = (25/2)
Donc, la solution est : x = 25/2
────────────────────────────── Exercice 2) La proportion est :
2/x = x/32
En multipliant en croix, on obtient : 2 × 32 = x × x
Calculons le côté gauche : 2 × 32 = 64, d’où : 64 = x²
Pour trouver x, on cherche les solutions de l’équation : x² = 64
Les solutions de cette équation sont : x = 8 ou x = -8
(Attention : dans le cadre des proportions, il faut toujours vérifier que les dénominateurs ne soient pas nuls. Ici, x ne doit pas être égal à 0 et les deux solutions conviennent.)
────────────────────────────── Exercice 3) La proportion à résoudre est :
[(3/2) x] / 7 = [8/5] / 3,5
La première étape consiste à réécrire correctement les expressions. Pour simplifier, reconnaissons que 3,5 peut s’écrire sous forme fractionnaire. En effet : 3,5 = 7/2
Récrivons donc l’équation :
[(3/2)x] / 7 = (8/5) / (7/2)
Simplifions le membre de gauche : (3/2 x)/7 = (3x)/(2×7) = (3x)/14
Pour le membre de droite, diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : (8/5) / (7/2) = (8/5) × (2/7) = 16/35
Ainsi, l’équation devient :
(3x)/14 = 16/35
Pour isoler x, on peut multiplier chaque côté de l’équation par 14 :
3x = 16/35 × 14
Calculons le produit à droite. On remarque que 14 et 35 ont un facteur commun : 14/35 = 2/5 (car 14÷7 =2 et 35÷7 =5) :
16/35 × 14 = 16 × (14/35) = 16 × (2/5) = 32/5
L’équation se simplifie en : 3x = 32/5
Finalement, en divisant par 3 :
x = (32/5) ÷ 3 = 32/(5×3) = 32/15
La solution est donc : x = 32/15
────────────────────────────── Exercice 4) Nous avons :
(4 – x)/x = 8/3
En multipliant en croix : 3(4 – x) = 8x
Développons le côté gauche : 3×4 – 3x = 12 – 3x
L’équation devient :
12 – 3x = 8x
Pour isoler x, regroupons les termes en x du même côté. Ajoutons 3x aux deux côtés :
12 = 11x
Divisons ensuite par 11 :
x = 12/11
────────────────────────────── Exercice 5) L’équation proposée est :
[1 – (1/3)]/5 = 3/x
Commencez par simplifier le numérateur du membre de gauche :
1 – (1/3) = (3/3 – 1/3) = 2/3
Donc, l’expression devient :
(2/3) / 5 = 3/x
Diviser par 5 revient à multiplier par 1/5 :
(2/3) ÷ 5 = 2/(3×5) = 2/15
L’équation est alors :
2/15 = 3/x
Multiplions en croix pour isoler x :
2x = 15 × 3
Calculons le produit : 15 × 3 = 45 donc 2x = 45
Divisons par 2 : x = 45/2
────────────────────────────── Exercice 6) La proportion à résoudre est :
(2x – 1)/(x + 2) = (4x – 1)/(2x + 3)
On utilise une méthode similaire : multiplier en croix et ensuite résoudre l’équation obtenue.
Effectuons le produit en croix : (2x – 1) × (2x + 3) = (4x – 1) × (x + 2)
Commençons par développer chaque produit en utilisant la distributivité.
Pour le membre de gauche :
(2x – 1)(2x + 3) = 2x×2x + 2x×3 – 1×2x – 1×3 = 4x² + 6x – 2x – 3 = 4x² + 4x – 3
Pour le membre de droite :
(4x – 1)(x + 2) = 4x×x + 4x×2 – 1×x – 1×2 = 4x² + 8x – x – 2 = 4x² + 7x – 2
L’équation devient donc :
4x² + 4x – 3 = 4x² + 7x – 2
Nous pouvons simplifier en soustrayant 4x² des deux côtés :
4x – 3 = 7x – 2
Isolons maintenant le terme en x ; soustrayons 4x à droite :
–3 = 3x – 2
Ajoutons 2 aux deux côtés :
–3 + 2 = 3x ⟹ –1 = 3x
Divisons par 3 pour trouver x :
x = –1/3
Avant d’accepter le résultat, vérifions que les dénominateurs ne deviennent pas nuls lorsqu’on remplace x par –1/3 :
x + 2 = –1/3 + 2 = (–1 + 6)/3 = 5/3 (≠ 0) 2x + 3 = 2(–1/3) + 3 = –2/3 + 3 = (–2 + 9)/3 = 7/3 (≠ 0)
La solution est donc valable : x = –1/3
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
Ces démarches détaillées permettent de vérifier la validité de chaque solution en appliquant étape par étape la méthode de produit en croix ainsi que la simplification des expressions.