Exercice 24

En raison de la chaleur, un rail de 80 m s’est dilaté de 36 cm. Calculer, en \(^{\circ}\mathrm{C}^{-1}\), le rapport de la dilatation à la longueur du rail.

Réponse

Le coefficient de dilatation linéaire est α = 0,36 m ÷ (80 m × 1 °C) = 0,0045 °C⁻¹.

Corrigé détaillé

Nous savons que lorsqu’un matériau se dilate avec la chaleur, la dilatation linéaire ΔL est liée à la longueur initiale L et à la variation de température ΔT par la formule :

  ΔL = α × L × ΔT

Ici, α représente le coefficient de dilatation linéaire (exprimé en °C⁻¹).

Dans cet exercice, il nous est indiqué qu’un rail de 80 m (L) s’est allongé de 36 cm (ΔL). Pour utiliser la formule, il faut que toutes les longueurs soient exprimées dans la même unité.

  1. Conversion des unités :  • La longueur initiale est déjà en mètres : L = 80 m.  • La dilatation est donnée en centimètres. On convertit 36 cm en mètres :   36 cm = 0,36 m.

  2. Calcul du rapport de la dilatation à la longueur (pour 1 degré de température) :

Ce rapport s’exprime par ΔL / (L × ΔT). Dans le cas présent, l’énoncé ne précise pas la variation de température ΔT. On peut en déduire que la valeur trouvée (le rapport de la dilatation à la longueur) s’exprime par degré Celsius. Autrement dit, on considère le rapport ΔL / L comme celui qui correspond à une variation d’un degré :

  α = ΔL / (L × ΔT)

Si l’on considère ΔT = 1 °C, alors :

  α = 0,36 m / (80 m × 1 °C)    = 0,36 / 80 °C⁻¹

  1. Calcul final :  • Effectuons la division :   0,36 ÷ 80 = 0,0045  • Ainsi, α = 0,0045 °C⁻¹.

  2. Conclusion : Le rapport de la dilatation à la longueur du rail, c’est-à-dire le coefficient de dilatation linéaire, est de 0,0045 °C⁻¹ (ou, de manière équivalente, 4,5 × 10⁻³ °C⁻¹).

Cette méthode permet de comprendre que pour chaque degré Celsius de variation de température, le rail s’allonge d’environ 0,45 % de sa longueur initiale, ce qui se traduit par un coefficient de dilatation de 0,0045 °C⁻¹.

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