En raison de la chaleur, un rail de 80 m s’est dilaté de 36 cm. Calculer, en \(^{\circ}\mathrm{C}^{-1}\), le rapport de la dilatation à la longueur du rail.
Le coefficient de dilatation linéaire est α = 0,36 m ÷ (80 m × 1 °C) = 0,0045 °C⁻¹.
Nous savons que lorsqu’un matériau se dilate avec la chaleur, la dilatation linéaire ΔL est liée à la longueur initiale L et à la variation de température ΔT par la formule :
ΔL = α × L × ΔT
Ici, α représente le coefficient de dilatation linéaire (exprimé en °C⁻¹).
Dans cet exercice, il nous est indiqué qu’un rail de 80 m (L) s’est allongé de 36 cm (ΔL). Pour utiliser la formule, il faut que toutes les longueurs soient exprimées dans la même unité.
Conversion des unités : • La longueur initiale est déjà en mètres : L = 80 m. • La dilatation est donnée en centimètres. On convertit 36 cm en mètres : 36 cm = 0,36 m.
Calcul du rapport de la dilatation à la longueur (pour 1 degré de température) :
Ce rapport s’exprime par ΔL / (L × ΔT). Dans le cas présent, l’énoncé ne précise pas la variation de température ΔT. On peut en déduire que la valeur trouvée (le rapport de la dilatation à la longueur) s’exprime par degré Celsius. Autrement dit, on considère le rapport ΔL / L comme celui qui correspond à une variation d’un degré :
α = ΔL / (L × ΔT)
Si l’on considère ΔT = 1 °C, alors :
α = 0,36 m / (80 m × 1 °C) = 0,36 / 80 °C⁻¹
Calcul final : • Effectuons la division : 0,36 ÷ 80 = 0,0045 • Ainsi, α = 0,0045 °C⁻¹.
Conclusion : Le rapport de la dilatation à la longueur du rail, c’est-à-dire le coefficient de dilatation linéaire, est de 0,0045 °C⁻¹ (ou, de manière équivalente, 4,5 × 10⁻³ °C⁻¹).
Cette méthode permet de comprendre que pour chaque degré Celsius de variation de température, le rail s’allonge d’environ 0,45 % de sa longueur initiale, ce qui se traduit par un coefficient de dilatation de 0,0045 °C⁻¹.