Exercice 17
Répartir 2340 francs entre trois personnes de telle sorte que :
La part de la deuxième personne soit les \(\frac{4}{9}\) de la part de la troisième personne,
Et que la part de la première personne soit les \(\frac{5}{13}\) de la somme des parts des deux autres personnes.
Réponse
La répartition des 2340 francs est la suivante : - Première personne : 650 francs, - Deuxième personne : 520 francs, - Troisième personne : 1170 francs.
Corrigé détaillé
Pour répartir 2340 francs entre trois personnes en respectant les conditions données, suivons les étapes ci-dessous.
Étape 1 : Définir les parts de chacun
Notons : - \(P_1\) la part de la première personne, - \(P_2\) la part de la deuxième personne, - \(P_3\) la part de la troisième personne.
Nous avons donc : \[ P_1 + P_2 + P_3 = 2340 \text{ francs} \]
Étape 2 : Traduire les conditions en équations
La part de la deuxième personne est les \(\frac{4}{9}\) de la part de la troisième personne : \[ P_2 = \frac{4}{9} P_3 \]
La part de la première personne est les \(\frac{5}{13}\) de la somme des parts des deux autres personnes : \[ P_1 = \frac{5}{13} (P_2 + P_3) \]
Étape 3 : Exprimer \(P_1\) en fonction de \(P_3\)
Remplaçons \(P_2\) dans la deuxième équation par son expression en fonction de \(P_3\) obtenue à l’étape précédente : \[ P_1 = \frac{5}{13} \left( \frac{4}{9} P_3 + P_3 \right) \] Simplifions l’expression : \[ P_1 = \frac{5}{13} \left( \frac{4}{9} P_3 + \frac{9}{9} P_3 \right) = \frac{5}{13} \left( \frac{13}{9} P_3 \right) = \frac{5}{9} P_3 \]
Étape 4 : Remplacer \(P_1\) et \(P_2\) dans l’équation totale
Nous avons maintenant : \[ P_1 = \frac{5}{9} P_3 \quad \text{et} \quad P_2 = \frac{4}{9} P_3 \] Remplaçons-les dans l’équation totale : \[ \frac{5}{9} P_3 + \frac{4}{9} P_3 + P_3 = 2340 \] Additionnons les termes similaires : \[ \left( \frac{5}{9} + \frac{4}{9} + 1 \right) P_3 = 2340 \] Convertissons 1 en fraction sur 9 : \[ \left( \frac{5}{9} + \frac{4}{9} + \frac{9}{9} \right) P_3 = 2340 \Rightarrow \frac{18}{9} P_3 = 2340 \] Simplifions : \[ 2 P_3 = 2340 \Rightarrow P_3 = \frac{2340}{2} = 1170 \text{ francs} \]
Étape 5 : Calculer \(P_2\) et \(P_1\)
Maintenant que nous connaissons \(P_3\) : \[ P_2 = \frac{4}{9} \times 1170 = \frac{4680}{9} = 520 \text{ francs} \] \[ P_1 = \frac{5}{9} \times 1170 = \frac{5850}{9} = 650 \text{ francs} \]
Conclusion
La répartition des 2340 francs est donc la suivante : - Première personne : \(650\) francs, - Deuxième personne : \(520\) francs, - Troisième personne : \(1170\) francs.
Vérifions la somme : \[ 650 + 520 + 1170 = 2340 \text{ francs} \] Les valeurs obtenues respectent bien les conditions initiales.