Exercice :
La base d’un cylindre a une aire de \(80\,\mathrm{cm}^{2}\). Quelle est l’aire de la base du cylindre obtenu après une réduction de rapport de 0,75 ? Quel est son rayon, arrondi au dixième près ?
Nouvelle aire = 45 cm² et nouveau rayon ≈ 3,8 cm.
On vous donne que l’aire de la base d’un cylindre est A₀ = 80 cm². Dans un agrandissement ou une réduction, le rapport s’applique aux dimensions linéaires (ici, le rayon). Ici, la réduction se fait avec un rapport de 0,75, ce qui signifie que le nouveau rayon (r₁) est égal à 0,75 fois l’ancien rayon (r₀).
Cependant, l’aire d’un cercle ne varie pas linéairement mais proportionnellement au carré du rayon. Ainsi, si l’on multiplie le rayon par 0,75, l’aire se multiplie par (0,75)².
Étape 1 : Calcul de la nouvelle aire
On sait que l’aire initiale est de 80 cm². La nouvelle aire A₁ sera donc : A₁ = (0,75)² × 80
Calculons (0,75)² : 0,75 × 0,75 = 0,5625
D’où : A₁ = 0,5625 × 80 = 45 cm²
L’aire réduite de la base du cylindre est donc 45 cm².
Étape 2 : Calcul du nouveau rayon
L’aire d’un cercle est donnée par la formule : A = π × r²
Ici, on connaît A₁ = 45 cm², donc : π × r₁² = 45
Pour trouver r₁, on exprime r₁² : r₁² = 45 / π
Ensuite, on prend la racine carrée pour obtenir r₁ : r₁ = √(45 / π)
Calculons ce résultat en utilisant π ≈ 3,14 : r₁ = √(45 / 3,14) = √(14,33) (environ) ≈ 3,8 cm
Ainsi, après la réduction, le rayon de la base du cylindre est d’environ 3,8 cm (arrondi au dixième).
Récapitulatif : • Nouvelle aire de la base du cylindre : 45 cm². • Nouveau rayon de la base arrondi au dixième : 3,8 cm.